Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 17

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa $AC$ và $D{A}^{\prime }$ bằng

Số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước số dương của chính nó, không bao gồm ước số là chính số đó. Mỗi phát biểu dưới đây đúng hay sai?

Cho hình lăng trụ đứng $\mathrm{ABC}.{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $\mathrm{ABC}.{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{2x}+x^2$ là:

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong một sự kiện thể thao, ban tổ chức sắp xếp các hàng ghế khán đài theo hình thang cân. Ở hàng đầu tiên (dưới cùng), ban tổ chức đặt 25 chiếc ghế. Ở mỗi hàng tiếp theo, số lượng ghế được đặt ít hơn hàng ngay phía trước nó 2 chiếc ghế. Cho đến hàng cuối cùng ở trên cao, ban tổ chức chỉ đặt đúng 3 chiếc ghế. Như vậy khán đài này được hoàn thành với  ___ hàng ghế và ban tổ chức phải dùng tất cả  ____ chiếc ghế.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(2;-1;2\right),B\left(0;1;0\right)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là

Tìm $a$ để các hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x+2a\mathrm{khi}x<0\\ x^2+x+1\mathrm{khi}x\ge 0\end{array}$ liên tục tại $x=0$?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa $\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-2}{x-1}=3$. Khi đó $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\left(f\left(x\right)\right)}^2-3f\left(x\right)+2}{2x^2-5x+3}$ bằng ___.

Cho số thực $m=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_a\sqrt{ab}$ với $a,b>1$ và $P={\left(\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{a}b\right)}^2+54\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{b}a$. Tìm giá trị của $m$ để biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ trên đoạn $\left[0;8\right]$ như hình vẽ

Trên $\left[0;8\right]$ diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f^{\prime }\left(x\right)$ và trục $Ox$lần lượt là 15; 8; 3 được thể hiện trên hình vẽ.

Tích phân $\underset{0}{\overset{8}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx$ bằng ___.

Biết $f\left(0\right)=10$, giá trị của $f\left(8\right)$ bằng ___.

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(3^{x^2}-9^x\right)\left[\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_2\left(x+30\right)-5\right]\le 0$?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho một viên gạch men có dạng hình vuông $OABC$ như hình vẽ dưới đây.

Sau khi tọa độ hóa ta có $O\left(0;0\right),A\left(0;1\right),B\left(1;1\right),C\left(1;0\right)$ và hai đường cong trong hình lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$ . Tỉ số diện tích của phần tô đậm so với diện tích phần còn lại của hình vuông là __.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $y=f^{\prime }\left(x\right)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a<b<c$ như hình bên dưới.

Ox tại ba điểm có hoành độ $a<b<c$ như hình bên dưới.Mệnh đề nào sau đây là đúng? (ảnh 1)">

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Bác Nam bắt đầu nuôi một tổ ong mật. Theo dõi quá trình phát triển của đàn ong, bác nhận thấy số lượng ong tăng trưởng theo quy luật hàm số mũ. Giả sử số lượng ong (đơn vị: nghìn con) sau $t$ tháng được tính theo công thức $n\left(t\right)=5\cdot b^t$ (trong đó $b$ là một hằng số dương và $t$là thời gian nuôi tính bằng tháng). Biết rằng sau 2 tháng nuôi, bác Nam thống kê được tổ ong có 20 nghìn con. Dựa vào các thông tin trên, mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.

Cho các biến cố $A$ và $B$ thỏa mãn $$P\left(\overline{A}\right)=0,2;P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,6$$. Ta có $P\left(A\right)=$  ____ và $P\left(A\cap B\right)=$  ____ . Do đó $P\left(B|A\right)=$ _____ .

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$. Biết góc giữa đường thẳng $A^{\prime }M$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ bằng $30^{\circ }$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho theo $a$.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.

Cho ba hàm số: $f\left(x\right)=\frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}$, $g\left(x\right)=\left|x\right|\cdot \sin x$, $h\left(x\right)=\sqrt{2-\cos 2x}$.

Số các hàm số chẵn trong ba hàm số trên là: __ .

Số các hàm số có chu kỳ $T=\pi$ là: __ .

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=3$ trên đường tròn lượng giác là __.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z+5=0$. Phát biểu nào sau đây đúng?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập $\{0;1;2;3;4;5;6\}$ sao cho số đó chia hết cho 5 và $a<b<c$?

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Số $n=100!$ có ___ chữ số 0 liên tiếp ở tận cùng.

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(1\right)=4$ và $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+2xy$.

Giá trị của $f\left(3\right)$ bằng ___.

Một bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $500d{m}^3$, đáy có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Diện tích kính dùng ít nhất để làm bể cá là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(1\right)=2$ và $x\cdot f^{\prime }\left(x\right)=2f\left(x\right)+x^3$. Giá trị $f(2)$ bằng:

Trong không gian $\left(Oxyz\right)$, cho mặt phẳng $$\left(P\right):2x-y+2z-6=0$$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1),D(1;1;1)$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{a}{b}$ trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b$ nguyên dương. Giá trị $a+b$ bằng __.

Khảo sát tại một trường THPT cho thấy tỉ lệ học sinh thích bóng đá là 65%, thích bóng rổ là 30% và thích cả hai môn này là 20%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.

Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:

Lượng nước tiêu thụ trung bình trong tháng của một hộ gia đình trong khu vực nói trên bằng  ______ m³.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là  ___ m³.

Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến $25\%$ các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ  ______ m³ nước trở lên.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên xấp xỉ bằng  _____ m³.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có __ giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-10;10\right]$ sao cho mỗi giá trị $m$ đó thì hàm số $y=\frac{e^{x-2}+1}{x+m}$ đồng biến trên $\left(1;3\right)$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một người gửi 75 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $6,5\%$ /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Giả định suốt trong thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. Vậy sau ít nhất __ năm ngưới đó nhận được số tiền nhiều hơn 110 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2{\left(x-3\right)}^3$. Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ là __.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được kí hiệu là $N\left(t\right)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N\left(0\right)=10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N^{\prime }\left(t\right)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức $N^{\prime }\left(t\right)=18t-3t^2$ (triệu tế bào/ml mỗi giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0\le t\le 7$). Khi đó $N^{\prime }\left(1\right)$ bằng  ___ triệu tế bào/ml giờ và so với lúc ban đầu ($t=0$), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm  ____ triệu tế bào/ml khi đến thời điểm $t=6$ giờ.