Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 18

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_1=2,u_{n+1}=u_n^2$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Diện tích miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và trục hoành bằng

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\sin x$.

Giá trị $f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)+f^{\prime }\left(0\right)$ bằng __ .

Số điểm cực trị của $f\left(x\right)$ trên $\left[0;2\pi \right]$ là __ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Tích các nghiệm của phương trình $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ bằng __.

Có bao nhiêu cách xếp $6$ học sinh (trong đó có $2$ bạn An và Bình) thành một hàng dọc sao cho An và Bình luôn đứng cạnh nhau?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng

Cho $a,b$ là các số thực dương lớn hơn $1$. Ta định nghĩa một phép toán mới, ký hiệu là dấu chấm tròn (•), được xác định bởi công thức sau: $a\bullet b={\log }_{a}b+{\log }_{b}a$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có __ giá trị nguyên của $m$ để phương trình $x^2-4x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(0;5\right)$.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi công thức $u_n=2n-\frac{1}{n}$ với $n\ge 1$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Trong mặt phẳng $Oxy$, khoảng cách từ điểm $M\left(1;2\right)$ đến đường thẳng $3x-4y-5=0\left(d\right)$ bằng

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$. Biết $f\left(0\right)=1,f\left(1\right)=2,f\left(2\right)=5$. Khi đó $f\left(3\right)$ bằng ___.

Giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-1}{x^2+3}$ bằng

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Một vật chuyển động thẳng biến đổi trên trục tọa độ với vận tốc tại thời điểm $t$(giây) được xác định bởi hàm số $v\left(t\right)=3t^2+2\left(m/s\right)$. Biết rằng tại thời điểm ban đầu ($t=0$), vật bắt đầu chuyển động. Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến giây thứ 2 là  ___ mét và gia tốc của vật thời điểm $t=2s$ là  ___ m/s².

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Hình phẳng $\left(H\right)$ được giới hạn bởi đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số đa thức bậc ba và parabol $\left(P\right)$ có trục đối xứng vuông góc với trục hoành.

Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng $\frac{a}{b}(a,b\in \mathbb{Z};\left(a,b\right)=1).$Giá trị của biểu thức $a-3b$ bằng __.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ

Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{\left(f\left(x+1\right)-4\right)\sqrt{x^2-4}}$có bao nhiêu đường tiệm cận?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Một công ty chuyên bán buôn rau, củ, quả sạch có doanh thu một loại rau được ước tính bởi hàm số $f\left(x\right)=x^2-29000x+1000100000$(đồng) và tiền lãi thu được là $g\left(x\right)=1000x+100000$(đồng) với $x$ là giá bán cho mỗi kg rau tươi. Biết doanh thu bằng tổng tiền lãi và tiền vốn. Công ty nên bán loại rau đó với giá là  ______ đồng để vốn bỏ ra là ít nhất là  __________ đồng.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Biết hệ số của đơn thức thứ ba trong khai triển ${\left(a{x}^2-\frac{2a}{x}\right)}^5$ với $x\ne 0$ bằng $-9720.$ Hệ số của $x^7$ trong khai triển trên bằng _____.

Biết $5^{2a+1}\cdot 4^{a+3}$ có $2025$ chữ số. Tìm giá trị $a$ nguyên?

Lan mua một máy tính xách tay tại một cửa hàng với giá niêm yết đã giảm $20\%$ so với giá ban đầu. Tổng số tiền Lan phải trả là $10$ triệu đồng, bao gồm $8\%$ thuế giá trị gia tăng $\left(VAT\right)$ trên giá niêm yết. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Từ một nhóm có $8$ học sinh nam và $10$ học sinh nữ,

Số cách chọn ra $3$ học sinh nam là ___.

Số cách chọn $5$ học sinh trong đó có $3$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ là _____.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Một hình chóp cụt đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy lớn bằng $4,$ cạnh đáy nhỏ bằng $2$ và chiều cao của nó bằng $\frac{3}{2}.$ Khi đó diện tích đáy lớn là __________ , diện tích đáy nhỏ là  __________ và thể tích khối chóp cụt đều là  __________ .

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,$$AD=a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác $ABC$ và $SH=\frac{a}{2}.$Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$ và $SC.$ Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình sau có nghiệm:

$(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})\le m\cdot {\log }_{5-\sqrt{4-x}}3.$

Một căn bệnh có $2\%$ dân số mắc phải. Một phương án chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là $99\%.$ Với những người bị bệnh, phương án này sẽ đưa ra kết quả dương tính $99\%$ số trường hợp. Với những người không mắc bệnh, phương pháp này chuẩn đoán đúng $99$ trong $100$ trường hợp. Những phát biểu sau đúng hay sai?

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}.$ Biết $f\left(0\right)>0.$ Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ:

Hàm số $y=\left|f\left(x\right)-\frac{x^2}{2}\right|$ có __ điểm cực trị.

Điền số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho $\int \frac{x-2}{2x}dx=ax+b\ln x+C$ với $x>0$. Giá trị của $\frac{b}{a}$ là ___.

Điền số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(-2;3;1\right)$, $B\left(2;1;0\right)$, $C\left(-3;-1;1\right)$. Biết tọa độ điểm $D\left(x;y;z\right)$ sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{ABCD}=3S_{\Delta ABC}$. Giá trị $x+2y+3z$ bằng ___.

Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực $A$ và $B$ về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:

Những phát biểu sau đúng hay sai?

Điền số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Ba chữ số tận cùng của $2004^{200}$ là ____.

Minh có thể gõ một file tài liệu trong 40 phút, An có thể gõ nó trong 30 phút và Chi có thể gõ nó trong 24 phút. Ba người sẽ mất bao nhiêu thời gian để cùng nhau gõ xong file tài liệu?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho khai triển $P(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2^2}\right)\dots \left(x+\frac{1}{2^{9999}}\right)=x^{9999}+A_1{x}^{9998}+A_2{x}^{9997}+\dots +A_{9999}.$

Hệ số A₁ bằng  __________ .

Hệ số A₂ bằng  __________ .

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SA$ bằng $\sqrt{6}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ nhỏ nhất bằng bao nhiêu?