Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 19

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left(-2;1;1\right),B\left(0;1;-2\right),C\left(m;3-2m;1\right)$.

Với $\forall m\in \mathbb{R}$, trọng tâm $\Delta ABC$ có cao độ bằng  __

Với $m=$  ___ thì $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

Có  __ giá trị của tham số $m$ để $S_{ABC}=7$.

Cho mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ không đi qua $I$ cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo một đường tròn có chu vi $16\pi \mathrm{cm}$. Biết đường kính $CD$ của $\left(S\right)$ vuông góc với $\left(\alpha \right)$ tại $H$ và $CH=16\mathrm{cm}$ (điểm $I$ nằm giữa $C$ và $H$). Bán kính mặt cầu $\left(S\right)$ bằng bao nhiêu cm?

Một công ty sản xuất linh kiện điện tử nghiên cứu sản xuất bóng bán dẫn theo các phương pháp khác nhau. Có một lượng bóng bán dẫn được sản xuất với 3 phương pháp khác nhau trong cùng khoảng thời gian. Số lượng bóng bán dẫn được sản xuất theo mỗi phương pháp được cho dưới bảng sau:

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm đáy. Khoảng cách từ $O$ đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Biết rằng $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[2023]{2024x+1}-1}{x}=\frac{a}{b}$$ với $a,b\in \mathbb{Z},b>0,\left(a,b\right)=1$. Giá trị của $a+b$ bằng _____.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Yến có 20 cuốn sách khác nhau và bạn định chia đều số sách vào 2 chiếc thùng giấy để chở tới trường.

Số cách Yến có thể xếp sách vào hai chiếc thùng có màu sắc khác nhau là _______ .

Số cách Yến có thể xếp sách vào hai chiếc thùng giống hệt nhau là ______ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có _____ số có 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó có đúng một chữ số lẻ.

Người ta thả một ít lá bèo vào hồ nước. Biết rằng sau 1 ngày, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ và sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp đôi so với trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì lá bèo phủ kín $\frac{1}{3}$ hồ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\vec{a}=\left(2;-2;-4\right)$; $\vec{b}=\left(1;-1;1\right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left(1;-1;3\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-4}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{1-z}{2},d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$, cắt $d_2$ và vuông $d_1$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua gốc tọa độ và chứa đường thẳng $d$. Biết mặt phẳng $\left(P\right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left(a;b;1\right)$. Giá trị biểu thức $a+b+1$ bằng ___.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1;0;0\right),B\left(2;0;1\right),C\left(1;1;1\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-6=0$ . Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ là

Cho hàm số $y=\frac{2x-3}{2-x}$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{1}{n+1},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một cửa hàng điện máy có doanh số bán lẻ tivi mỗi năm là 2500 chiếc. Chi phí lưu kho của mỗi chiếc tivi là 200 nghìn đồng một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất, mỗi lần cửa hàng cần đặt cọc cố định là 10 triệu đồng và sau khi nhập hàng thì cần trả thêm 3 triệu đồng mỗi chiếc tivi. Biết rằng số lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một nửa số tivi của mỗi lần đặt hàng. Cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất __ lần mỗi năm và mỗi lần đặt  ____ chiếc tivi để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất.

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left(1;0;-1\right),B\left(0;1;2\right),C\left(1;-1;5\right),D\left(2;-2;1\right)$.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi quay đường cong $f\left(x\right)$ quanh trục hoành giới hạn giữa hai mặt phẳng $x=a,x=b$ được tính bởi công thức $S=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\sqrt{1+{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x$.

Một bình hoa có dạng hình cầu khuyết như hình vẽ. Biết đường kính của bình hoa là $20\mathrm{cm}$ và đường kính đáy/miệng của bình hoa là $12\mathrm{cm}$. Diện tích tráng men mặt ngoài (kể cả đáy) của bình hoa bằng ____ $\pi c{m}^2$.

Gọi $m,n$ là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right):mx+2y+nz+1=0$ và $\left(Q\right):x-my+nz+2=0$ vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right):4x-y-6z+3=0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số thỏa mãn $f\left(2\right)=-\frac{2}{9}$ và $f^{\prime }\left(x\right)=2x{\left[f\left(x\right)\right]}^2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Giá trị của $f\left(0\right)$ bằng ___.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ và $\underset{5}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)dx=9$. Tính $\underset{2}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Cho cặp số tự nhiên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $x^2-y^2=91$.

Với mỗi cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn điều kiện trên thì $x\cdot y$ có thể bằng:

Số nguyên $a$ được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên, tức là $a=b^2$ với $b$ là số nguyên.

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hình chóp $S.ABC,$$H$ là chân đường cao của hình chóp thỏa mãn $AH=\frac{1}{4}AC$, $\Delta ABC$ đều cạnh $a$, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ }$.

Độ dài đoạn thẳng $HB$ là  __________ và thể tích khối chóp $S.ABC$ là __________ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một quyển sách có 2000 trang. Cần dùng _____ chữ số để đánh số trang quyển sách đó.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(1;2;4\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$, $d_2:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+t\\ z=2t\end{array}$. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua $A$, vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$ có phương trình là

Nếu $m$ là số nguyên dương, $a$ và $b$ chia cho $m$ có cùng số dư thì ta nói $a$ đồng dư với $b$ theo mô đun $\mathrm{m}$, kí hiệu $a\equiv b\left(\mathrm{mod}m\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right):y=x^3+3x^2-6x+1$ sao cho $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M\left(0;1\right)$. Khi đó, có __ đường thẳng Δ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cho hàm số $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x^2}$. Biết $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$. Biết $F\left(-1\right)=2,F\left(1\right)=F\left(2\right)=14$. Nguyên hàm $F\left(x\right)$ là:

Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hai tập hợp sau đây bằng nhau:

$M=\left\{x\in \mathbb{R}|x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-2m=0\right\};N=\left\{x\in \mathbb{R}|x^2=1\right\}.$

Hai nhân viên bán bảo hiểm đang cạnh tranh nhau giải thưởng "Nhân viên bán hàng có phong độ ổn định nhất năm". Số hợp đồng kí được mỗi tháng của hai người được ghi nhận trong bảng dưới đây.

Biết rằng trong tháng cuối, nhân viên $A$ đã hài lòng với kết quả của mình còn nhân viên $B$vẫn tiếp tục đi tìm thêm khách hàng nên chưa có số liệu. Hỏi trong tháng cuối cùng nhân viên $B$cần bán được bao nhiêu hợp đồng để giành được giải thưởng trên?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Người ta thực hiện thí nghiệm cho hai quả bóng $A$ và $B$ di chuyển ngược chiều nhau và va chạm với nhau. Sau va chạm, mỗi quả bóng di chuyển ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng $A$ di chuyển ngược lại với vận tốc $v_A\left(t\right)=10-2t\left(m/s\right)$ và quả bóng $B$di chuyển ngược lại với vận tốc $v_B\left(t\right)=12-4t\left(m/s\right).$ Giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng. Quãng đường đi được của quả cầu A từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là  ___ (m) và khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn là  ___ (m).

Trong không gian $$\mathrm{Ox}yz,$$ cho ba điểm $A\left(1;1;1\right),$$B\left(-1;1;0\right),$$C\left(3;1;-1\right).$ Gọi $M\left(a,b,c\right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $$\left(\mathrm{Ox}z\right)$$ và cách đều ba điểm $A,B,C.$ Khi đó $a+b-c$ bằng:

Thống kê số ngày trong tháng 6 năm 2021 và năm 2022 theo nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Hà Nội, người ta thu được bảng sau:

R1​,R2​ lần (ảnh 1)">

Những phát biểu sau đúng hay sai?

Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,4$ và khả năng thắng thầu của dự án 2 là $0,5$ . Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là $0,3$ .

Gọi $A$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”

Gọi $B$ là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.

Những phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Gọi $a,b(a<b)$ là các nghiệm của phương trình $6^x+6=2^{x+1}+3^{x+1}$. Giá trị của $P=3^a+2^b$ bằng __.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=1-2\cos x-\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x$ là:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có __ số nguyên $n$ thỏa mãn: $2n^2+14n+25$ chia hết cho $n+5$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(e^{-x}+x{e}^{-x}\right)$. Giá trị $f^{\prime }\left(2\right)$ bằng