Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 20

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên đoạn $\left[-1;3\right]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp $T$ là tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left(x\right)=m$ có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$.

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tập $T$ là ___ .

Giá trị nguyên lớn nhất của tập $T$ là ___ .

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $J$ là trung điểm $SD$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho số thực $a$ và hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x& \mathrm{khi}x\le 1\\ a\left(x-2x^2\right)& \mathrm{khi}x>1\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{dx}$.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-27=0$. Bán kính $R$ của mặt cầu $\left(S\right)$ bằng __.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hình phẳng $\left(H\right)$ giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=2x^2$ và $y=x$.

Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại  __ điểm phân biệt và diện tích hình phẳng $\left(H\right)$ bằng __________ .

Phần nguyên của số thực $x$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, kí hiệu là $\left[x\right]$. Chẳng hạn $\left[1,2\left]=1;\right[-2,7\right]=-3$.

Tổng các phần nguyên của số $\sqrt{k}$ với $k$ là số tự nhiên và $k\in \left[1;24\right]$ bằng

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(-1;6;-1\right),B\left(2;-1;3\right),C\left(-3;5;1\right)$.

Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì hoành độ điểm $D$ là ___ .

Chân đường cao $H$ hạ từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ có tọa độ là ( ___ ; __ ; __ ).

Giới hạn $L=\lim 2^n$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau: Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? \(\left( {0; + \infty } \right)\ (ảnh 1)">

Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho bảng ô vuông sau: 

Số hình chữ nhật có trên hình là ____.

Số hình vuông có trên hình là ____.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+1$ có đồ thị hàm số là $\left(C\right)$. Phát biểu nào dưới đây là sai?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+6}}{x-3}& \mathrm{khi}x\ne 3\\ a+2& \mathrm{khi}x=3\end{array}$. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để hàm số liên tục tại $x_0=3$ là

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hai số thực $x,y$ lớn hơn 1 thỏa mãn $\cos \left(x+y+1\right)+4=\cos \left(4xy\right)+16xy-4x-4y$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=x\left(y+2\right)$ bằng $\frac{a+b\sqrt{5}}{c}\left(a,b,c\in \mathbb{R}\right)$ với $abc$ bằng ____.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết đồ thị hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có  __ điểm cực trị và đạt giá trị nhỏ nhất tại $x$ bằng ___ .

Hàm số $y=f\left(x\right)-x$ có  __ điểm cực trị.

Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(3;1;1\right),N\left(4;3;4\right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-7}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-9}{1}$. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{9^x}{9^x+3}$. Giá trị của biểu thức $f\left(\frac{1}{2022}\right)+f\left(\frac{2}{2022}\right)+\cdots +f\left(\frac{2021}{2022}\right)$ bằng

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho $1,x,9,y$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Khi đó: $x=$ __; $y=$ ___.

Số học sinh khối 12 của một trường học là một số có ba chữ số và khi yêu cầu các em học sinh này xếp thành 16 hàng, 20 hàng hoặc 24 hàng đều nhau thì vừa đủ. Số học sinh khối 12 của trường đó có thể là số nào sau đây?

Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành 2 đoạn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ bằng

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Số $A=13^{13}+6^4+2019^{2023}$ có chữ số hàng đơn vị là __.

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được tính theo công thức nào?

Số nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x-{\log }_{x}64=1$ là

Hai hàm số $$y=F\left(x\right),y=G\left(x\right)$$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt $$P\left(x\right)=F\left(x\right)\cdot G\left(x\right)$$.

$y=F\left(x\right),y=G\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt $$P\left(x\right)=F\left(x\right)\cdot G\left(x\right)$$. Tính $P^{\prime }\left(2\right)$. 1,5. (ảnh 1)">

Tính $P^{\prime }\left(2\right)$.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Tổng các nghiệm $x\in \left[0;2018\pi \right]$ của phương trình $\sin 2x=1$ là $S=\frac{a\pi }{b}$, biết $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị $a+b$ bằng ________.

Cho hình chóp S.ABC có $G$ là trọng tâm tam giác ABC và $M$ là trung điểm của đoạn SG. Biết $\overrightarrow{SM}=x\overrightarrow{SA}+y\overrightarrow{SB}+z\overrightarrow{SC}$. Tính $T=x+2y$.

Trong một đợt khám sức khỏe của 50 học sinh nam lớp 12, người ta được kết quả như bảng

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho ở Bảng bằng bao nhiêu centimets (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một số tự nhiên có 4 chữ số $\overline{abcd}$ chia hết cho 11 nếu $a-b+c-d$ chia hết cho 11. (Ví dụ 5324 chia hết cho 11 vì $5-3+2-4$ chia hết cho 11). Có ___ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 11 mà tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11 .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài là 1 . Nối các trung điểm của hình vuông này ta được hình vuông thứ hai. Nối các trung điểm của hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như vậy ta được một dãy các hình vuông.

Tổng chu vi của các hình vuông đó bằng $a+b\sqrt{2},\left(a,b\in \mathbb{Z}\right)$. Giá trị $P=a+b$ bằng ___.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho bất phương trình $x^2-\left(m+1\right)x-m+2\ge 0$, với $m$ là tham số thực. Giá trị $m$ lớn nhất để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left[0;4\right]$ là __.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(1;2;-5\right);B\left(-1;0;2\right)$, mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-2z=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cả hai xã $A,B$ cùng ở một bên bờ sông Cấm, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $A{A}^{\prime }=500\mathrm{m},B{B}^{\prime }=600\mathrm{m}$ và người ta đo được $A^{\prime }{B}^{\prime }=2200\mathrm{m}$ (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Cấm cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó có dạng $a\sqrt{b}\left(a,b\in \mathbb{R}\right)$. Giá trị $a-20b$ bằng _____.

Ta quy ước các ước dương khác 1 và khác chính nó của một số tự nhiên là các ước không tầm thường. Bạn An lấy một số tự nhiên bất kỳ rồi tìm ước không tầm thường lớn nhất và lớn thứ hai của số đó. Sau đó bạn lấy tổng của hai ước đó để làm mật mã tài khoản mạng xã hội của mình. Theo quy tắc đó thì mật mã của An là dãy số nào nếu số tự nhiên bạn chọn là 2023102.

Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 20 phiếu và hộp thứ hai có 10 phiếu. Sinh viên $A$ đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho sinh viên $A$ rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên. Ví dụ: 4 và 16 là hai số chính phương vì $4=2^2;16=4^2$. Phát biểu dưới đây là đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Thể tích lượng nước trong cốc là ____ cm³.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho $x,y$ là các số nguyên tố thỏa mãn $y^2-2x^2=1$.

Khi đó $x=$  __ và $y=$ __ .