Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 22

Trên một chiếc Radio FM có vạch chia để người dùng có thể dò sóng cần tìm. Vạch ngoài cùng bên trái và vạch ngoài cùng bên phải tương ứng với 88$Mhz$ và 108 $Mhz$. Hai vạch này cách nhau 10 $cm$. Biết vị trí của vạch cách vạch ngoài cùng bên trái $d\left(cm\right)$ thì có tần số $k{\alpha }^d\left(Mhz\right)$ với $k$và $\alpha$ là hai hằng số. Tìm vị trí tốt nhất của vạch để bắt sóng $VO{V}_1$ với tần số $102,7Mhz$.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một vật chuyển động theo qui luật $S=-t^3+9t^2+t+10$, với $t$(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $S$(mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 12 giây, vận tốc lớn nhất của vật là ___ $\left(m/s\right).$

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho $\underset{0}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=49$ và $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=21$. Khi đó giá trị của $T=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{5}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ là ___.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{khi}\mathrm{x}\ge 0\\ x^2+x+2\mathrm{khi}\mathrm{x}<0\end{array}$. Biết tích phân $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\frac{a}{b}+\frac{{\text{e}}^2}{c}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a+b+c$ bằng

Cho phương trình $\frac{\sin 2x-\sin x}{\cos x+1}=0$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai.

Cho $\left(P\right):4x-4y-6z+1=0$, đường thẳng $\left(d_1\right):\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2t\\ x=0\end{array}$ và $\left(d_1\right)$ : $\{\begin{array}{l}x=3-3t^{\prime }\\ y=2-2t^{\prime }\\ x=1+2t^{\prime }\end{array}$. Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng vuông góc với $\left(P\right)$ đồng thời cắt cả $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $A$ và $B$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Người ta dùng máy đào hầm (TBM) để đào hai đường hầm hình trụ tròn xoay đường kính $12m$, mỗi đường hầm đều có chiều dài bằng $20m$, có hai trục cắt nhau và vuông góc với nhau. Tính thể tích khối đất đào được.

12m, mỗi đường hầm đều có chiều dài bằng $20m$, có hai trục cắt nhau và vuông góc với nhau. Tính thể t (ảnh 1)">

Cho hàm số y $=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\frac{m^3+5m}{\sqrt{f^2\left(x\right)+1}}=f^2\left(x\right)+6$ có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

=f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình \(\frac{{{m^3} + 5m}}{{\sqrt {{f (ảnh 1)">

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Biết $L=\underset{x\to 7}{\text{lim}}\left(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right)=\frac{a}{b}$, với $a,b\in \mathbb{Z},\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó $a-b^2=$ _____ .

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 3 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số $v\left(t\right)=-0,1t^3+t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v\left(t\right)$ tính bằng centimét/tuần. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Cho hàm số $f\left(x\right)$ là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

f(x) là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau: Khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ bằng $\sqrt{26}$. Hàm số \(g\left( (ảnh 1)"> .

Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 10 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị là

Một người gọi điện thoại nhưng quên mất chữ số cuối. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Giả sử có một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một đoạn $AB=5km$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một đoạn là $7km$ ( biết $AB$ vuông góc với $BC$). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ $A$ đến điểm $M$ trên bờ biển với vận tốc $4km/h$ rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $6km/h$ (xem hình vẽ ở dưới đây). Khi đó độ dài đoạn $BM$ để người đó đến kho nhanh nhất có dạng $a\sqrt{b}$ (với $b$là số nguyên tố) thì tích $ab$ bằng ___.

Hàm số $F\left(x\right)=2x^9+1945$ là nguyên hàm của hàm số

Một trang trại phân 1000 quả trứng thành 5 loại, tuỳ theo khối lượng (đã được làm tròn) của chúng được thống kê bởi bảng dưới đây:

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O\left(0;0;0\right)$, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí $A\left(-500;-250;150\right),B\left(-200;-200;100\right)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là $\left(a;b;c\right)$. Giá trị của biểu thức $-57a-19b-19c$ là _____.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Khai triển ${\left(x-3\right)}^4$. Khi đó

Hệ số của $x^3$ trong khai triển là ____ .

Hệ số của $x^2$ trong khai triển là ___ .

Tổng các hệ số của các hạng tử có bậc chẵn trong khai triển bằng ____ .

Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;-2),B(2;0;3)$ và $C(-2;4;1)$. Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức $2^{x^2+y^2}=2\cdot 2^{y-x}$ ?

Gọi $m$ là giá trị để đồ thị $\left(C_m\right)$ của hàm số $y=\frac{x^2+2mx+2m^2-1}{x-1}$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với $\left(C_m\right)$ tại hai điểm này vuông góc với nhau. Khi đó ta có

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Số dư khi chia $1532^5-1$ cho $9$ là __ .

Số dư khi chia $2016^{2018}+2$ cho $5$ là __ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho số nguyên tố $p$ để $13p+1$ bằng một số lập phương của số nguyên dương. Số giá trị của $p$ bằng __.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=1,u_2=3\\ u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$. Khi đó giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n^2}$ được viết dưới dạng $\frac{a}{b}$ ($a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0$) và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tổng $a+b$ bằng __.

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Hình minh họa quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol trong mặt phẳng tọa độ $Oth$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ mặt đất. Sau khoảng 2 giây, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8 m.

Oth, trong đó $t$ là thời (ảnh 1)">

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111... được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{a}{b}$. Giá trị $a+b$ bằng ___.

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Khi viết các số tự nhiên tăng dần từ $1,2,3,\dots$ liên tiếp nhau, ta nhận được một dãy các chữ số:

$1234567891011121314151617181920\dots$

Chữ số thứ 191 là __.

Chữ số thứ 334 là __.

Cho cấp số cộng $u_n=5n-1$. Tính $A=u_{26}+u_{27}+\dots +u_{100}$

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn điều kiện ${\log }_5(5^a\cdot 125^b)={\log }_{25}5$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Nếu $b=\frac{1}{2}$ thì giá trị của số thực $a$ bằng ___ .

Mối liên hệ giữa $a$ và $b$ là $2a+6b=$ __ .

Nếu $a$ là số nguyên âm thuộc $[-10;-5]$ thì có  __ giá trị nguyên dương của $b$.

Cho mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q)$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,BC=a\sqrt{3},AB=a$. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh $A^{\prime }$ lên mặt đáy là điểm $M$ thỏa mãn $3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}$. Thể tích lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cô giáo muốn ra đề kiểm tra 45 phút môn Toán phần Quy tắc đếm. Trong ngân hàng câu hỏi có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì cô giáo có _____ cách ra đề.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Lấy hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự di động trên $AC$ và $A^{\prime }B$ sao cho $AM=A^{\prime }N=t\left(0\le t\le a\sqrt{2}\right)$. Giá trị nhỏ nhất của $MN$ bằng __________ , khi đó góc $\left(MN,AC\right)$ bằng __________ .

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(-1;6;-1\right),B\left(2;-1;3\right),C\left(-3;5;1\right)$.

Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì hoành độ điểm $D$ là ___ .

$H\left(a;b;c\right)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC$. Khi đó $a+b+c$ bằng __ .

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Để tìm số các chữ số của một số tự nhiên $A$ khi viết trong hệ thập phân, ta có công thức là: $\left[\log A\right]+1$.

Số nguyên tố dạng $M_p=2^p-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-xen (M. Mersenne, 1588 - 1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện $M_{31}$ có  <

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+a{x}^2+bx+c$ có bảng biến thiên được cho như hình vẽ.

y=f(x)=3x3​+ax2+bx+c có bảng biến thiên được cho như hình vẽ. Có bao nhiêu số âm trong các hệ số a, b, c? 0. 1. 2. 3. (ảnh 1)">

Có bao nhiêu số âm trong các hệ số a, b, c?