Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 28

Trong không gian $$Oxyz$$, cho $\Delta ABC$, biết $A\left(-1;0;3\right),B\left(4;2;0\right),C\left(3;1;-3\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Nếu $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left[\sin x-3f\left(x\right)\right]\mathrm{d}x=6$ thì bằng

Xét hàm số $y=\frac{x}{2}-{\sin }^{2}x$ trên khoảng $\left(0;\pi \right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a,b,c,d\in \mathbb{R}\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Trong các số $a,b,c,d$ có __ số dương.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<2000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F\left(x\right)=2000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G\left(x\right)=x^2+1440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là t (chục nghìn đồng) $(0<t<300)$. Để nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó thì mức thuế phụ thu (trên một đơn vị sản phẩm) là ____ chục nghìn đồng.

Trong đợt chào mừng kỉ niệm ngày 26/3, trường X có tổ chức cho các lớp bày các gian hàng tại sân trường. Để có thể che nắng, chứa đồ đạc trong quá trình tham gia hoạt động, một lớp đã nghĩ ra ý tưởng như sau: Dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là $$8\mathrm{m}$$ và chiều rộng là $$6\mathrm{m}$$, bằng cách gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều dài của tấm bạt, hai mép chiều rộng còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau $$x\left(\mathrm{m}\right)$$.

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Áo sơ mi G9 trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 95% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 92% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là $$\frac{a}{b}$$ với $$\frac{a}{b}$$ là phân số tối giản. Giá trị $$a+b$$ bằng ____.

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng (phần tô màu trong hình) là:

y=f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô màu trong hình) là: (ảnh 1)">

Cho tứ diện $$S.ABCD$$ có đáy $$ABCD$$ là hình thang vuông tại $$A$$ và $$B$$, biết $$AD=2a,$$$$AB=BC=a$$, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $$SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$$. Gọi $$E$$ là trung điểm của $$AD$$. Tính số đo của góc phẳng nhị diện $$\left[S,BE,A\right]$$.

Phương trình $${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=2^{x^2-5x+2}$$ có nghiệm là:

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình sau

Đồ thị hàm số có __ đường tiệm cận ngang và __ đường tiệm cận đứng.

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left(4;1;5\right),B\left(3;0;1\right),C\left(-1;2;0\right)$ và điểm $M\left(a;b;c\right)$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ lớn nhất. Giá trị $P=a-2b+4c$ bằng ___.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left(2;-1;-1\right)$ và song song với hai mặt phẳng$\left(\alpha \right):x-2y-z+2=0$ và $\left(\beta \right):2x-z=0$là

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+3$.

Phương trình $f\left(x\right)=-1$ có  __ nghiệm phân biệt.

Hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có  __ điểm cực trị .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình chóp $$S.ABCD$$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2$, hai mặt phẳng $$\left(SAB\right)$$ và $$\left(SAD\right)$$ cùng vuông góc với đáy, biết $$SC=2\sqrt{3}$$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC. Thể tích của khối chóp $$A.MNPQ$$ bằng __.

Trong không gian $$Oxyz$$, cho $$\overrightarrow{u}=\left(1;-2;3\right)$$, $$\overrightarrow{v}=\left(2;3;-1\right)$$, $$\alpha$$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Chọn mệnh đề đúng.

Trong không gian với hệ tọa độ $$Oxyz$$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-2=0$. Tính bán kính $r$ của mặt cầu.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-x+2}{x-2}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{5x+7}$, trục hoành và các đường thẳng$x=4,x=7$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox.$

Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cây lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao $20$ cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $v\left(t\right)=-0,1t^3+1,1t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v\left(t\right)$ tính bằng cm/tuần. Gọi $h\left(t\right)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ $\left(t\ge 0\right)$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Một hộp đựng $100$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $100$. Chọn từ hộp ra bốn thẻ.

Có  _______ cách chọn bốn thẻ đều ghi số chẵn.

Có  ________ cách chọn bốn thẻ sao cho tổng các số ghi trên 4 thẻ là một số chẵn.

Có  ________ cách chọn bốn thẻ sao cho tổng lập phương của bốn số chia hết cho 4.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40\mathrm{cm}$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa, chi phí phủ một lớp men trang trí bốn cánh hoa là 600000đồng/$1{\mathrm{m}}^2$ (hình vẽ minh họa). Chi phí để tráng men trang trí bốn cánh hoa của một viên gạch là ___ nghìn đồng.

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $15$ m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $-a$ m/s${}^2$. Biết rằng ô tô chạy được thêm $20$m thì dừng hẳn. Giá trị của $a$thuộc khoảng nào dưới đây?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;0;1\right)$, $B\left(1;-3;-5\right)$, $C\left(3;-4;-3\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+5=0$. Xét các đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và tạo với đường thẳng $BC$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là giao điểm của $\Delta$ với $(P)$. Khi $BM$ lớn nhất, $\Delta$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;a;b\right)$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng __.

Bạn An có 6 viên bi gồm 2 viên bi màu đỏ, 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu vàng, các viên bi là đôi một khác nhau. An bỏ ngẫu nhiên 6 viên bi vào 3 cái hộp khác nhau, mỗi hộp 2 viên bi. Xác suất để không có hai viên bi cùng màu nào được bỏ vào cùng một cái hộp bằng

Cho hàm số $$f\left(x\right)={\log }_2\left(x+25\right)$$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các phương án thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{a{x}^2-\left(a-2\right)x-2}{\sqrt{x+8}-3}\mathrm{khi}x>1\\ 5+a^{2}x\mathrm{khi}x\le 1\end{array}$.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ bằng __________ .

Có tất cả  __ giá trị thực của $a$ để hàm số đã cho liên tục tại $x=1$.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Tập giá trị của hàm số: $y={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x$ có dạng $\left[\frac{a}{b};1\right]$ với $a;b$ là các số nguyên, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị $S=a+a{b}^2$ bằng ___.

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Biết $A,B$ là hai số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn $A<\frac{2^{2021}}{3^{1273}}<B$. Khi đó $A$ bằng ___ và $B$ bằng ___.

Kéo và thả các phương án thích hợp vào các chỗ trống:

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}{u}_1+u_7=26\\ u_2^2+u_6^2=466\end{array}$ và $u_1>1$. Khi đó $u_1$ bằng  ___ và $d$ bằng ___ .

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 mét xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Tổng các quãng đường khi rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy lên nữa là

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $\frac{n^3-1}{9}$ là số nguyên tố.

Giá trị của $n$ là __.

Gieo 3 con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên mặt của 3 con xúc xắc là một số chia hết cho 3?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hai hàm số $F\left(x\right)=\left(x^2+ax+b\right)e^{-x}$ và $f\left(x\right)=\left(-x^2+3x+6\right)e^{-x}$. Để $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ thì $a=$ ___ ; $b=$ ___ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2,AD=3,A{A}^{\prime }=4$. Gọi M là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $D{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó $2\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AG}+5\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}$ bằng ___.

Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám $X$ được cho trong bảng sau:

Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Chữ số tận cùng của hiệu $7^{95}-3^{58}$ là __.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Song sinh có thể là cùng trứng (identical) hoặc khác trứng (fraternal). Biết rằng $\frac{1}{3}$ số cặp song sinh là cùng trứng. Hiển nhiên, song sinh cùng trứng phải cùng giới tính; song sinh khác trứng có thể cùng hoặc khác giới tính. Giả sử song sinh cùng trứng có xác suất là hai bé trai hoặc hai bé gái như nhau, trong khi với song sinh khác trứng thì tất cả bốn khả năng đều có xác suất như nhau. Một nhà khảo sát tìm gặp ngẫu nhiên một người phụ nữ đang mang thai đôi.

Biết rằng cặp song sinh cùng trứng. Xác suất để người phụ nữ mang thai đôi là bé gái bằng __________ .

Xác suất để thai đôi của người phụ nữ là một cặp trai gái bằng __________ .