Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 30

Kéo và thả các phương án thích hợp vào các chỗ trống:

Trong một câu lạc bộ thể thao của trường X, thầy giáo có chuẩn bị các phiếu khảo sát về bộ môn thể thao yêu thích gồm bóng đá và cầu lông cho 40 bạn học sinh. Kết quả: 35 học sinh thích bóng đá, 30 học sinh thích cầu lông, 4 học sinh không thích môn nào. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh.

Gọi biến cố A: "Học sinh yêu thích môn bóng đá", B: "Học sinh yêu thích môn cầu lông". Khi đó: $P\left(A\right)$ bằng __________ ; $P\left(A\cup B\right)$ bằng __________ ; $P\left(A\cdot B\right)$ bằng __________ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow{u}=(3;2;-6)$, mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z-10=0$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+4x+2y-2z-3=0$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Một hạt Urani chuyển động với quãng đường đi được tuân theo hàm số $s\left(t\right)=2^{\frac{t}{10}+1}-2$ (mét), $t\ge 0$ tính bằng giây. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Gọi $A$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A, tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho $7$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Biết $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-3x+1}-\left(ax+b\right)\right)=0$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Tính $a+4b$.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Xét số A = 123456789101112...20232024 (số tự nhiên A có được bằng cách viết lần lượt các số từ 1 đến 2024). Số dư của A khi chia cho 45 bằng __.

Tìm hệ số của $x^9$ trong khai triển $$P\left(x\right)=x{\left(1-2x^4\right)}^5+x^3{\left(1+x^2\right)}^5.$$

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Phương trình $$\frac{36}{2^x-2}=10+4\cdot 2^x$$ có số nghiệm là __.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ có thể lập được _____ số tự nhiên mà mỗi số có $6$ chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng $8$.

Để chuẩn bị cho trò chơi “Hái hoa dân chủ” của một tổ dân phố tổ chức cho các em thiếu nhi, bác tổ trưởng dán $10$ bông hoa giấy lên bảng, trong đó có $4$ bông hoa mang câu đố về văn học, các bông hoa còn lại mang câu đố về toán học. Bé Hương hái bông hoa đầu tiên, sau đó bé Lan hái bông hoa thứ hai. Xác suất để bé Lan hái được bông hoa mang câu đố về toán học là bao nhiêu? (Kết quả viết dưới dạng phân số tối giản.)

Trong không gian $$\mathrm{Ox}yz,$$ cho các mặt phẳng $$\left(P\right):x-y+2z+1=0,\left(Q\right):2x+y+z-1=0.$$ Gọi $\left(S\right)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $\left(S\right)$ cắt mặt phẳng $\left(P\right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $2$ và $\left(S\right)$ cắt mặt phẳng $\left(Q\right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r.$ Để chỉ có đúng $1$mặt cầu $\left(S\right)$ thỏa mãn yêu cầu thì giá trị của $r$ là:

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có __ số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a,$ tồn tại ít nhất $8$ số nguyên $b\in \left(-10;10\right)$thỏa mãn: $5^{a^2-2a-3+b}\le 3^{b+a}+598.$

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho có  __ điểm cực trị.

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm có hoành độ bằng __ .

Đồ thị hàm số đã cho có tổng cộng  __ đường tiệm cận đứng và ngang.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+2};n\ge 1\end{array}.$

Tính tổng $S=u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots +u_{2022}^2$.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $$\mathrm{Ox}yz,$$ cho mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình $\left(S\right)$: $x^2+y^2+z^2=2022.$ Có __ điểm $M\left(a;b;c\right)$ với $a+b+c>0$ thuộc mặt cầu $\left(S\right)$ sao cho tiếp diện của $\left(S\right)$ tại $M$ và cắt các trục $$\mathrm{Ox},Oy,Oz$$ lần lượt tại $A,B,C$ có thể tích khối tứ diện $OABC$ là nhỏ nhất.

Cho $\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+{\cot }^{2}x}=\sqrt{2}\sin x\sin 2x.$ Khi đó nếu đặt $A=\left|\sin x+\cos x\right|$thì giá trị $A$ có thể bằng

Cho các số thực dương $a,b$ thoả mãn ${\log }_2^{2}a-2{\log }_{2}a+2+2\left({\log }_{2}a-1\right)\cdot \sin \left({\log }_{2}a+b\right)=0.$

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2a+3b$ bằng

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Cho hàm số $y=e^{3x}\sin 5x$. Để $6y^{\prime }-y^{\prime \prime }+my=0$ thì $m$ bằng ____.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Để đánh số trang quyển sách phải dùng 3897 chữ số. Quyển sách đó có _____ trang.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $J$ là trung điểm $SD$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=\mathrm{si}{\mathrm{n}}^{4}x+\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{4}x+\sin x\cos x$

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left(2;1;3\right)$, mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$. Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left(P\right)$ và cắt $\left(S\right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ có khoảng cách nhỏ nhất. Biết $\mathrm{\Delta }$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2023;y_0;z_0\right)$.

Giá trị của $y_0+z_0$ bằng ______ .

Khoảng cách $AB$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{a}$ với $a$ bằng ___ .

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Xung quanh một bờ hồ hình tròn có trồng 20 cây cau cảnh. Người ta dự định chặt bớt 5 cây sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt. Có _____ cách thực hiện khác nhau.

Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Biết $x;y;z$ là 3 số thoả mãn đồng thời $$x+y+z=0$$ và $$xy+yz+zx=0$$. Giá trị của biểu thức $$T={\left(x-1\right)}^{2025}+{\left(y-1\right)}^{2026}+{\left(z+1\right)}^{2027}$$ là __.

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$ và $x=3$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Một đơn vị xây dựng dự định đào một đường thoát nước dài $15m$ như hình vẽ. Biết khoảng cách từ mặt đường tới lòng máng thoát nước bằng $0,5\mathrm{m}$ và bề rộng máng là $0,6\mathrm{m}$. Cắt máng nước theo phương vuông góc với lòng máng ta được thiết diện là hình thang cân. Chi phí để đào $1{\mathrm{m}}^3$ đất là 150000 đồng. Số tiền đơn vị được trả để đào hết mương này là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

15m như hình vẽ. Biết khoảng cách từ mặt đường tới lòng máng thoát nước bằng $0,5\mathrm{m}$ và bề rộng máng là \(0,6{\rm{\;m}}\ (ảnh 1)">

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(x\right)=3f\left(\frac{x}{2}\right)$. Gọi $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left(4\right)=1$ và $2F\left(8\right)+5F\left(2\right)=0$. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Kéo và thả các phương án thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\mathrm{H}$ là trung điểm của $\mathrm{AC}$.

Khoảng cách từ $\mathrm{B}$ đến $\left(SAC\right)$ bằng _______ .

Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left(SAC\right)$ bằng __________ .

Góc giữa mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng __________ .

Cho mẫu số liệu ghép nhóm của chiều cao của cây cao su trong một nông trường

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian với hệ tọa độ $\mathrm{Oxyz}$, đài kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ O(0;0;0). Mỗi đơn vị trên trục tọa độ tương ứng với 1 km. Một máy bay đang ở vị trí $\mathrm{A}\left(-688;-185;8\right)$, chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(91;75;0\right)$ và bay theo hướng về phía đài kiểm soát không lưu. Máy bay sẽ được hiển thị trên màn hình ra-đa nếu nó nằm trong phạm vi cách đài kiểm soát không quá 417 km. Gọi $\mathrm{E}\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$ là vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa. Giá trị $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$ bằng _____.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Biết $$\frac{4}{3x-2y}=\frac{3}{2z-4x}=\frac{2}{4y-3z}$$ và $$x+y-z=-10$$. Khi đó $x=$  ____ và $x+y+z=$ ____ .

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Biết $n$là số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn $2n+1$ và $3n+1$ là các số chính phương. Khi đó $n=$ ___ và tổng các chữ số của $n$ bằng __.

Có hai đội thi đấu môn Bóng bàn. Đội $I$ có 6 vận động viên, đội $II$ có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương đồng của mỗi vận động viên đội $I$ và đội $II$ tương ứng là $0,8$ và $0,65$. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?

Điền số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Trong một chiếc hộp có 100 tấm thẻ giống nhau, được đánh số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 109 . Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Xác suất của biến cố A “Rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số trên thẻ đó là một số chính phương” là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ bằng __.

Lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ $$R_1=20cm$$, bán kính đường tròn lớn $$R_2=30cm$$ và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm theo đơn vị lít (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

$R_1=20cm$, bán kính đường tròn lớn $$R_2=30cm$$ và mặt cắt khi (ảnh 1)">

Điền các số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Để tạo nên một chiếc lồng đèn hình chóp chụt lục giác đều người ta cần dùng ba loại thanh tre có độ dài lần lượt là $30\mathrm{cm},60\mathrm{cm},90\mathrm{cm}$. Khi lồng đèn có chiều cao cao nhất, thể tích của lồng đèn khi đó có dạng $V=a\sqrt{b}\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\right)$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Khi đó $a=$ ____ và $b=$ __.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số$$y=x^3-3x^2+3m-1$$ trên đoạn $$\left[1;3\right]$$nhỏ hơn 6.

Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống:

Cho hàm số $$y=\ln \left(2x-1\right)-x^2$$. Phương trình $$y^{\prime }=0$$ có  __ nghiệm phân biệt và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là ___ .