Đề thi tham khảo ĐGNL Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh môn Toán có đáp án - Đề số 4

Thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 1 đến câu 20.

 $\int \left(\sin x+2x^3\right)dx$ bằng

Thí sinh điền đáp án vào ô trống theo yêu cầu từ câu 31 đến câu 40.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-4}{2}$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=9$. Xét mặt phẳng $\left(P\right):ax+by+cz+9=0\left(a,b,c\ne 0\right)$. Biết rằng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right)$. Tính giá trị $a+b+c.$

Đáp án: ___

Trong một tình huống cứu hộ khẩn cấp, một nhân viên cứu hộ phải vượt qua một hồ nước đề tiếp cận người gặp nạn ở phía bên kia. Biết rằng hồ rộng 100 m và vận tốc bơi của nhân viên cứu hộ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Giả sử hồ nước có dạng thẳng, vị trí người gặp nạn cách nhân viên cứu hộ 1 km theo đường chim bay và nhân viên cứu hộ cách bờ bên kia 100 m. Hãy cho biết nhân viên cứu hộ phải bơi bao nhiêu mét để đến được người gặp nạn nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: ____

Trong một khu bảo tồn sinh thái, người ta theo dõi sự phát triển của một loài thực vật quý hiếm. Số lượng cây của loài này sau $t$năm được mô tả bởi công thức $P\left(t\right)=\frac{100000}{1+4^{-t}}$ trong đó $t$được tính theo năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì số lượng cây đạt 80000 cây?

Đáp án: __

Một đội cứu hỏa cần chuẩn bị một chiếc thang cứu hộ để có thể vượt qua một bức tường chắn cao 2,4 mét và đặt chân lên tòa nhà phía sau. Khoảng cách từ bức tường chắn đến tòa nhà là 1,5 mét. Hỏi chiều dài ngắn nhất của chiếc thang (tính bằng cm) để nó có thể đặt dưới đất, vượt qua bức tường chắn và tựa vào tòa nhà (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án: ____

Một trò chơi truyền hình gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn, trong đó chỉ có một lựa chọn đúng. Người chơi được cộng 4 điểm cho mỗi câu trả lời đúng và trừ 1 điểm cho mỗi câu trả lời sai. Một thí sinh tham gia trò chơi bằng cách chọn ngẫu nhiên một phương án ở mỗi câu hỏi. Gọi $p$ là xác suất để thí sinh đó đạt được 10 điểm. Hỏi giá trị của 100p bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: _____

Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $\left(x\in \mathbb{N};1\le x\le 300\right)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F\left(x\right)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất $x$ sản phẩm là $G\left(x\right)=300+\frac{100}{x}$ (nghìn đồng), chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất $x$ sản phẩm là $H\left(x\right)=2x^3+100000x-50000$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: ____

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P\left(3;1;0\right),Q\left(2;3;0\right)$ và điểm $N$ di động trên tia $Oz$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $OQ$ và $NQ$. Đường thẳng $EF$ cắt trục $Oz$ tại điểm $T$. Khi thể tích khối tứ diện $PQNT$ nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng $\left(PEF\right)$ có dạng $ax+by+cz-9=0$. Tính $a+b+c$.

Đáp án: __

Một trạm sạc xe điện sử dụng hệ thống pin lưu trữ năng lượng mặt trời đề điều tiết điện lưới. Trong quá trình vận hành, lượng điện năng dự trữ trong trạm sẽ thay đổi tùy thuộc vào việc trạm đang nạp điện từ lưới vào hay phát điện ra cho các xe sạc. Biết hệ thống lưu trữ tối đa là 1000 kWh. Hàm số $f\left(t\right)$ biểu thị tốc độ thay đổi lượng điện năng trong trạm theo thời gian $t$(giờ), tính từ thời điểm 6 giờ sáng đến 6 giờ chiều được cho bởi: $f\left(t\right)=\{\begin{array}{lc}100t& \left(0\le t\le 3\right)\\ -200t+900& \left(3\le t\le 6\right)\\ 100t-900& \left(6\le t\le 12\right)\end{array}$với mốc thời gian $t=0$ tương ứng lúc 6 giờ sang. Biết rằng lúc 8 giờ sáng, trong trạm đang dự trữ 500 kWh điện năng. Hỏi vào thời điểm 4 giờ chiều, trong trạm lưu trữ bao nhiên kWh điện năng?

Đáp án: ____

Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=1000\left(t^2+m{e}^{-t}\right)$với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $m$ là tham số. Khi đó đạo hàm $f^{\prime }\left(t\right)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tính tổng các giá trị nguyên âm của $$m$$ biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm.

Đáp án: ___

Trong một buổi diễn tập, một trạm chỉ huy được đặt tại gốc tọa độ $O\left(0;0;0\right)$ (đơn vị tính theo km). Các kỹ thuật viên vận hành một thiết bị đánh chặn tầm thấp (drone chiến thuật) có tầm hoạt động tối đa 50 km và vận tốc bay không đổi là 500 m/s. Một mục tiêu giả định (máy bay mục tiêu) đang di chuyển theo đường thẳng để thoát khỏi khu vực diễn tập theo hướng có vector chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left(3;-4;0\right)$ với vận tốc không đổi là 900 km/h. Tại thời điểm trạm chỉ huy xác định được vị trí của máy bay mục tiêu ở tọa độ $A\left(-44;16;24\right)$, drone đánh chặn được lệnh xuất phát ngay lập tức từ gốc tọa độ $O$ để thực hiện nhiệm vụ và đã tiếp cận mục tiêu thành công. Tính khoảng cách từ trạm chỉ huy đến vị trí máy bay mục tiêu tại thời điểm drone tiếp cận được máy bay đó (tính bằng km). Giả sử máy bay mục tiêu và drone đều di chuyển theo đường thẳng trong điều kiện lý tưởng, bỏ qua ảnh hưởng của gió và trọng lực.

Đáp án: ___