ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;−1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α)  có phương trình 2x−2y−z+3=0. Bán kính của (S) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $$\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=4$$ và 2 đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=1-t\\ z=t\end{array}$và ${\Delta }_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}$. Một phương trình mặt phẳng (P) song song với $${\Delta }_1,{\Delta }_2$$ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−1;0),B(1;1;−1) và mặt cầu $$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-3=0$$. Mặt phẳng (P) đi qua A,B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $$(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-4{)}^2=10$$ và mặt phẳng $$(P):-2x+y+\sqrt{5}z+9=0$$. Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại M(5;0;4) . Tính góc giữa (P) và (Q).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $$(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$$và mặt phẳng  $$(P):2x-2y+z+3=0$$. Gọi M(a;b;c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó:

Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu  $$\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=64$$với mặt phẳng$$\left(\alpha \right):2x+2y+z+10=0$$.

Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình $$\left(S\right):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-7\right)}^2=72$$và điểm B(1;1;−9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử $$\overrightarrow{n}=\left(1;m;n\right)$$là véctơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:

Mặt phẳng (Oyz) cắt mặt cầu $$(S):x^2+y^2+z^2+2x-2y+4z-3=0$$ theo một đường tròn có tọa độ tâm là

Viết  phương trình mặt cầu có tâm I(−1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;2;1);B(3;2;3), có tâm thuộc mặt phẳng (P):x−y−3=0 , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,(α) cắt mặt cầu (S) tâm I(1;−3;3) theo giao tuyến là đường tròn tâm H(2;0;1) , bán kính r=2 . Phương trình (S) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(−3;2;−4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $$(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$$  và mặt phẳng $$(\alpha ):2x+y-2z+m=0$$. Tìm các giá trị của m để $$\left(\alpha \right)$$và (S) không có điểm chung.

Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng $$(P):2x-2y-z+10=0$$theo thiết diện là hình tròn có diện tích $$3\pi$$. Phương trình của (S) là:

Trong không gian vớ hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng $$(P):x-2y+2z-3=0$$và mặt cầu $$(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$$. Giả sử $$M\in \left(P\right)$$ và $$N\in \left(S\right)$$ sao cho $\overrightarrow{MN}$cùng phương với vectơ $$\overrightarrow{u}=\left(1;0;1\right)$$và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $$(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+5=0$$. Tiếp diện của (S) tại điểm M(−1;2;0) có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $$(S):x^2+y^2+z^2+6x-4z+9-m^2=0$$. Gọi T là tập các giá trị của m để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tích các giá trị của mm trong T bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $$(S):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z-3=0$$và đường thẳng $$\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{-1}$$. Mặt phẳng $$\left(\alpha \right)$$vuông góc với $$\Delta$$ và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính lớn nhất. Phương trình $$\left(\alpha \right)$$là: