ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Do AD // BC nên $$d\left(D;\left(SBC\right)\right)=d\left(A;\left(SBC\right)\right).$$

Gọi K là hình chiếu của A trên SB, suy ra$$AK\perp SB\left(1\right)$$

Ta có:$\{\begin{array}{c}BC\perp SA\\ BC\perp AB\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AK(2)$

Từ (1) và (2) $$\Rightarrow AK\perp \left(SBC\right)$$

Khi$$d\left(A;\left(SBC\right)\right)=AK=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$$

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Đổi $$d\left(M;\left(SAC\right)\right)$$ sang $$d\left(H;\left(SAC\right)\right)$$

Gọi H là trung điểm AB. Vì $$\Delta SAB$$ cân tại S nên$$SH\perp AB$$

Ta có:$\{\begin{array}{c}(SAB)\cap (ABCD)=AB\\ SH\subset (ABCD),SH\perp AB\end{array}\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$

Gọi $$K=HD\cap AC$$  Áp dụng định lí Ta-let ta có$$\frac{DK}{HK}=\frac{DC}{AH}=2\Rightarrow DK=2HK$$

Ta có $$MD\cap \left(SAC\right)=S\Rightarrow \frac{d\left(M;\left(SAC\right)\right)}{d\left(D;\left(SAC\right)\right)}=\frac{SM}{SD}=\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)$$

Lại có$$DH\cap \left(SAC\right)=K$$ nên$$\frac{d\left(D;\left(SAC\right)\right)}{d\left(H;\left(SAC\right)\right)}=\frac{DK}{HK}=2\Rightarrow d\left(D;\left(SAC\right)\right)=2d\left(H;\left(SAC\right)\right)$$

Bước 2: Trong (ABCD) kẻ $$HE\perp AC\left(E\in AC\right)$$ trong (SHE) kẻ$$HN\perp SE\left(N\in SE\right)$$ chứng minh$$HN\perp \left(SAC\right)$$

Do đó$$d\left(M;\left(SAC\right)\right)=d\left(H;\left(SAC\right)\right)$$

Trong (ABCD) kẻ$$HE\perp AC\left(E\in AC\right)$$,  trong (SHE) kẻ$$HN\perp SE\left(N\in SE\right)$$ ta có:

$\{\begin{array}{c}AC\perp HE\\ AC\perp SH\end{array}\Rightarrow AC\perp (SHE)\Rightarrow AC\perp HN\{\begin{array}{c}HN\perp SE\\ HN\perp AC\end{array}\Rightarrow HN\perp (SAC)$

$$\Rightarrow d\left(H;\left(SAC\right)\right)=HN$$

Bước 3: Xác định góc giữa SC và (ABCD), từ đó tính SH.

Vì $$SH\perp \left(ABCD\right)$$ nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

$$\Rightarrow \angle \left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SC;HC\right)=\angle SCH=45^0$$

$$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SHC$$ vuông cân tại $$H\Rightarrow SH=HC=\sqrt{B{C}^2+B{H}^2}$$

$$=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}$$

Bước 4: Tính$$d\left(M;\left(SAC\right)\right)$$

Ta có: $$S_{HAC}=\frac{1}{2}HE.AC=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$$

$$\Rightarrow HE.AC=\frac{1}{2}.AB.BC$$

$$\Rightarrow HE=\frac{\frac{1}{2}.AB.BC}{AC}=\frac{\frac{1}{2}.a.2a}{\sqrt{a^2+{\left(2a\right)}^2}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:

Nên$$HN=\frac{SH.HE}{\sqrt{S{H}^2+H{E}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{17}}{2}.\frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{\frac{17a^2}{4}+\frac{a^2}{5}}}=\frac{a\sqrt{1513}}{89}$$

Vậy $$d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\frac{a\sqrt{1513}}{89}$$

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh$$d\left(A;\left(B{B}^{\prime }M\right)\right)=d\left(A;\left(B{B}^{\prime }MN\right)\right)=AN$$

Gọi N là trung điểm của AC ta có$$\left(B{B}^{\prime }M\right)\equiv \left(B{B}^{\prime }MN\right)$$ nên$$d\left(A;\left(B{B}^{\prime }M\right)\right)=d\left(A;\left(B{B}^{\prime }MN\right)\right)$$

Vì tam giác ABC đều nên$$AN\perp BN$$ Ta có$\{\begin{array}{c}AN\perp BN\\ AN\perp MN\end{array}\Rightarrow AN\perp (BB\prime MN)$ nên$$d\left(A;\left(B{B}^{\prime }MN\right)\right)=AN=4$$

Bước 2:  Tính$$V_{A.B{B}^{\prime }M}=\frac{1}{3}d\left(A;\left(B{B}^{\prime }MN\right)\right).S_{\mathrm{\Delta }B{B}^{\prime }M}=V_{B^{\prime }.ABM}$$

Ta lại có$$BN=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3},MN=A{A}^{\prime }=\sqrt{6}$$ nên

$$S_{B{B}^{\prime }MN}=MN.BN=\sqrt{6}.4\sqrt{3}=12\sqrt{2}\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }B{B}^{\prime }M}=6\sqrt{2}$$

$$\Rightarrow V_{A.B{B}^{\prime }M}=\frac{1}{3}d\left(A;\left(B{B}^{\prime }MN\right)\right).S_{\mathrm{\Delta }B{B}^{\prime }M}=\frac{1}{3}.4.12\sqrt{2}=16\sqrt{2}=V_{B^{\prime }.ABM}$$

Bước 3:  Sử dụng$$d\left(B^{\prime };\left(ABM\right)\right)=\frac{3V_{B^{\prime }.ABM}}{S_{\mathrm{\Delta }ABM}}$$

Lại có$$V_{B^{\prime }.ABM}=\frac{1}{3}d\left(B^{\prime };\left(ABM\right)\right).S_{\mathrm{\Delta }ABM}$$ nên$$d\left(B^{\prime };\left(ABM\right)\right)=\frac{3V_{B^{\prime }.ABM}}{S_{\mathrm{\Delta }ABM}}$$

Ta có:

$$\begin{array}{l}AM=\sqrt{A^{\prime }{A}^2+A^{\prime }{M}^2}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+4^2}=\sqrt{22}\\ AB=8\\ BM=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{M}^2}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2}=3\sqrt{6}\end{array}$$

Bước 4: Sử dụng công thức$$S_{\mathrm{\Delta }ABM}=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AB\right)\left(p-BM\right)}$$ với p là nửa chu vi tam giác ABM.

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có$$p=\frac{\sqrt{22}+8+3\sqrt{6}}{2}$$

$$\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }ABM}=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AB\right)\left(p-BM\right)}=12\sqrt{2}$$

Vậy$$d\left(B^{\prime };\left(ABM\right)\right)=\frac{3V_{B^{\prime }.ABM}}{S_{\mathrm{\Delta }ABM}}=\frac{3.16\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}=4$$