ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm

Nếu $$t=u\left(x\right)$$thì:

Biết $$\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=2x\ln \left(3x-1\right)+C$$ với $$x\in \left(\frac{1}{9};+\infty \right)$$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Nếu $$t=x^2$$ thì:

Cho $$f\left(x\right)=\sin 2x\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$$. Nếu đặt $$\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=t$$ thì:

Tính $$I=\int 3x^5\sqrt{x^3+1}dx$$

Cho $$F\left(x\right)=\int \frac{\ln x}{x\sqrt{1-\ln x}}dx$$ , biết$$F(e)=3$$ , tìm $$F(x)=?$$

Tính $$I=\int \frac{{\cos }^{3}x}{1+\sin x}dx$$ với $$t=sinx$$. Tính I theo t?

Cho $$f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sqrt{1-x}}$$ và $$\int f(x)dx=-2\int (t^2-m{)}^{2}dt$$với $$t=\sqrt{1-x}$$, giá trị của m bằng ?

Cho $$F\left(x\right)=\int \frac{x}{1+\sqrt{1+x}}dx$$và $$F\left(3\right)-F\left(0\right)=\frac{a}{b}$$ là phân số tối giản , a>0. Tổng a+b bằng ?

Cho nguyên hàm $$I=\int \frac{6tanx}{{\cos }^{2}x\sqrt{3\tan x+1}}dx$$ . Giả sử đặt $$u=\sqrt{3tanx+1}$$ thì ta được:

Cho nguyên hàm $$I=\int \frac{e^{2x}}{\left(e^x+1\right)\sqrt{e^x+1}}dx=a\left(t+\frac{1}{t}\right)+C$$ với $$t=\sqrt{e^x+1}$$, giá trị a bằng?

Nếu có $$x=cott$$ thì:

Cho hàm số $$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}$$. Khi đó, nếu đặt x=tant thì:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{8-x^2}}$$ thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là

Tìm nguyên hàm của hàm số $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{3x^2+2}}$$

Cho nguyên hàm $$I=\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3}\mathrm{d}x.$$. Nếu đổi biến số $$x=1sint$$ với $$t\in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$$ thì

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $$f\left(x\right)=\frac{x^2\sin x+2x\cos x}{x\sin x+\cos x}$$. Biết $$F\left(0\right)=1,$$ Tính giá trị biểu thức $$F\left(\frac{\pi }{2}\right).$$

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $$f\left(x\right)=x\sqrt{x^2-m}$$. Số giá trị của tham số m để $$F\left(\sqrt{2}\right)=\frac{7}{3}$$ và $$F\left(\sqrt{5}\right)=\frac{14}{3}$$ là:

Nguyên hàm của hàm số $$y=\cot x$$ là: