ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b)  đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R  và $$\underset{-2}{\overset{4}{\int }}f(x)dx=2$$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên $$\left[-a;a\right].$$Chọn kết luận đúng:

Cho $${\int }_0^{4}f(x)dx=-1$$, tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(4x)dx$:

Tính tích phân $$I=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{3}x\sin xdx$$

Đặt $$\cos x=t\Rightarrow -\sin xdx=dt\Rightarrow \sin xdx=-dt$$

Đổi cận:$\{\begin{array}{c}x=0\Rightarrow t=1\\ x=\pi \Rightarrow t=-1\end{array}$

$\Rightarrow I=-\underset{1}{\overset{-1}{\int }}{t}^{3}dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{t}^{3}dt=\frac{t^4}{4}|{}_{-1}^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$

Cho tích phân $$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin x\sqrt{8+\cos x}dx$$ Đặt $$u=8+cosx$$ thì kết quả nào sau đây là đúng?

Tính tích phân $$I=\underset{\ln 2}{\overset{\ln 5}{\int }}\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}}dx$$ bằng phương pháp đổi biến số $$u=\sqrt{e^x-1}$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Biết rằng $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{x^2+1}dx=\ln a$$ với $$a\in R$$. Khi đó giá trị của a bằng:

Cho $$2\sqrt{3}m-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{4x^3}{{\left(x^4+2\right)}^2}dx=0$$. Khi đó $$144m^2-1$$bằng:

Đổi biến $$u=\ln x$$ thì tích phân $$I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1-\ln x}{x^2}dx$$ thành:

Cho $$I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\sqrt{1+3\ln x}}{x}dx$$ và $$t=\sqrt{1+3lnx}$$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Kết quả tích phân $$I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\ln x}{x\left({\ln }^{2}x+1\right)}dx$$ có dạng $$I=aln2+b$$ với $$a,b\in Q$$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tích phân $$I=\underset{1}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx$$. Nếu đổi biến số $$t=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$ thì:

Đổi biến $$x=4\sin t$$ của tích phân $I=\underset{0}{\overset{\sqrt{8}}{\int }}\sqrt{16-x^2}$ ta được:

Cho tích phân $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$$. Bằng phương pháp đổi biến thích hợp ta đưa được tích phân đã cho về dạng:

Tìm a biết $I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\frac{e^{x}dx}{2+e^x}=\ln \frac{ae+e^3}{ae+b}$ với a,bb là các số nguyên dương.

Cho tích phân $$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{{\sin }^{2}x}\sin x{\cos }^{3}xdx$$. Nếu đổi biến số $$t=si{n}^{2}x$$ thì:

Đặt$$t={\sin }^{2}x\Rightarrow dt=2\sin x\cos xdx\Rightarrow \sin x\cos xdx=\frac{1}{2}dt$$ và$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-t$$

Đổi cận: $\{\begin{array}{c}x=0\Rightarrow t=0\\ x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1\end{array}$

Khi đó

$$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{{\sin }^{2}x}\sin x{\cos }^{3}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{{\sin }^{2}x}co{s}^{2}x\sin x\cos xdx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^t\left(1-t\right)dt$$

 $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\pi x^3+2^x+\mathrm{e}{x}^3{.2}^x}{\pi +\mathrm{e}{.2}^x}\mathrm{d}x=\frac{1}{m}+\frac{1}{\mathrm{e}\ln n}\ln \left(p+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}+\pi }\right)$$ với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng $$S=m+n+p$$.

Biết $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{3\sin x+\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx=-\frac{7}{13}\ln 2+b\ln 3+c\pi \left(b,c\in \mathbb{Q}\right).$$. Tính $\frac{b}{c}$.

Cho $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=1.$$Tính $$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(2{\sin }^{2}x-1\right)f\left(\sin 2x\right)dx$$

Cho hàm số f(x) liên tục trên $$\left[-1;2\right]$$và thỏa mãn điều kiện $$f\left(x\right)=\sqrt{x+2}+xf\left(3-x^2\right)$$ Tính tích phân $$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $$x.f(x^3)+f(x^2-1)=e^{x^2},\forall x\in \mathbb{R}$$. Khi đó giá trị của $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$ là:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $$\left[0;1\right]$$và $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)dx=5$$ Tính $$I=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}xf\left(\sin x\right)dx$$

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và $$\underset{1}{\overset{9}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=4,\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)\cos x\mathrm{d}x=2$$. Tính tích phân $$I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$$

Với mỗi số k, đặt $$I_k=\underset{-\sqrt{k}}{\overset{\sqrt{k}}{\int }}\sqrt{k-x^2}dx$$. Khi đó $$I_1+I_2+I_3+...+I_{12}$$ bằng:

Biết hàm số $$y=f\left(x\right)$$ liên tục và có đạo hàm trên $$\left[0;2\right],f\left(0\right)=\sqrt{5},f\left(2\right)=\sqrt{11}.$$ Tích phân $$I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right).f^{\prime }\left(x\right)dx$$ bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=3\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dt=6$$. Giá trị của $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$$ bằng:

Cho f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x)=f(2020-x)$$ và $$\underset{3}{\overset{2017}{\int }}f(x)dx=4$$. Khi đó $$\underset{3}{\overset{2017}{\int }}xf(x)dx$$ bằng: