ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

Cho tích phân $$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right).g^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x,$$, nếu đặt $\{\begin{array}{c}u=f(x)\\ dv=g\prime (x)dx\end{array}$ thì 

Để tính $$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{x}^2\cos x\mathrm{d}x$$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $$\left[0;1\right]$$và thỏa mãn điều kiện $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right).f^{\prime }\left(x\right)dx=1,\underset{0}{\overset{1}{\int }}{g}^{\prime }\left(x\right).f\left(x\right)dx=2$$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]}^{\prime }dx$A.I=2

Cho $$F\left(x\right)=x^2$$ là nguyên hàm của hàm số $$f(x)e^{2x}$$ và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện $$f\left(0\right)=0,f\left(1\right)=\frac{2}{e^2}.$$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)e^{2x}dx$

Cho tích phân $$I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x+\ln x}{{\left(x+1\right)}^3}\mathrm{d}x=a+b.\ln 2-c.\ln 3$$với$$a,b,c\in R$$, tỉ số $\frac{c}{a}$ bằng

Cho tích phân $$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{x^2}{{\left(x\sin x+\cos x\right)}^2}\mathrm{d}x=\frac{m-\pi }{m+\pi }$$, giá trị của m bằng :

Cho tích phân $$I=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\ln \left(3\sin x+\cos x\right)}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=m.\ln \sqrt{2}+n.\ln 3-\frac{\pi }{4}$$, tổng m+n

Tích phân:  $$I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}2x(1-\ln x)dx$$ bằng

Tính tích phân $$I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln x\mathrm{d}x$$

Tính tích phân $$I=\underset{1}{\overset{2^{1000}}{\int }}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$$

Biết rằng$$\int e^{2x}\cos 3xdx=e^{2x}\left(a\cos 3x+b\sin 3x\right)+c$$, trong đó a,b,c là các hằng số, khi đó tổng a+b có giá trị là:

Cho hàm số y=f(x)  thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right).f^{\prime }\left(x\right)dx=10$và $2f\left(1\right)-f\left(0\right)=2$Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số y=f(x)thỏa mãn hệ thức $$\Rightarrow \int f(x)\sin \mathrm{x}dx=-f(x).\cos x+\int {\pi }^x.\cos xdx$$. Hỏi y=f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau: 

Biết rằng $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cos 2xdx=\frac{1}{4}\left(a\sin 2+b\cos 2+c\right)$$ với $$a,b,c\in Z$$. Mệnh đề nào sau đây là đúng

Giả sử tích phân $$I=\underset{0}{\overset{4}{\int }}x\ln {\left(2x+1\right)}^{2017}dx=a+\frac{b}{c}\ln 3.$$.  Với phân số  $\frac{b}{c}$ tối giản. Lúc đó :

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho $$n\ln n-\underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln xdx$$ có giá trị không vượt quá 2017

Biết $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}x.c\mathrm{os}2xdx=a+b\pi$$, với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.     

Biết tích phân $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{2x}dx=a{e}^2+b$$ (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

Cho tích phân $$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^x\sin x$$. Gọi a,ba,b là các số nguyên thỏa mãn $$I=\frac{e^{\frac{\pi }{2}}+a}{b}$$

Cho $$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x+\sqrt{x^2+15}\right)dx=a+b\ln 3+c\ln 5$$ với $$a,b,c\in \mathbb{Q}$$. Tính tổng a+b+c.

Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $$\left[-1;1\right]$$ thỏa mãn: $$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{86}{15}$$ và $$f\left(1\right)=5$$. Khi đó $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}^{\prime }\left(x\right)dx$$ bằng:

Nếu $$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\sin xdx=20,\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}xf{\left(x\right)}^{\prime }\sin xdx=5$$thì$$I=\underset{0}{\overset{{\pi }^2}{\int }}f\left(\sqrt{x}\right)\cos \left(\sqrt{x}\right)dx$$ bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $$\left[1;3\right],$$thỏa mãn $$f(4-x)=f(x),\forall x\in \left[1;3\right]$$ và $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}xf\left(x\right)dx=-2$$. Giá trị $2\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có $$f\left(2\right)=0$$ và $$f\prime (x)=\frac{x+7}{\sqrt{2x-3}},\forall x\in (\frac{3}{2};+\infty )$$. Biết rằng $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}f\left(\frac{x}{2}\right)dx=\frac{a}{b}(a,b\in \mathbb{Z},b>0,\frac{a}{b}$$ là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:

Cho hàm số f(x) có $$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2$$ và $$f\prime (x)=xsinx$$. Giả sử rằng $$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(x\right)dx=\frac{a}{b}-\frac{{\pi }^2}{c}$$ (với a,b,c là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản). Khi đó a+b+c bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $$\left(-\frac{1}{2};2\right)$$thỏa mãn $$f\left(0\right)=2$$, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^{2}dx=12-16\ln 2,\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}dx=4\ln 2-2$. Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $$x.f(x^3)+f(x^2-1)=e^{x^2},\forall x\in \mathbb{R}$$. Khi đó giá trị của $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$ là: