Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 8)

Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (xem hình vẽ). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách $h$ (m) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian $t$ (giây) (với $t\ge 0$) bởi hệ thức $h=\left|d\right|$ với $d=3\cos \left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]$, trong đó ta quy ước $d>0$ khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và $d<0$ trong trường hợp ngược lại (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage). Tìm thời điểm đầu tiên mà khoảng cách $h$ là lớn nhất (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: giây).

____

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là $1,5 m$. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển (nhập đáp án vào ô trống)?

______

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$?

Cho hàm số bậc năm $y=f\left(x\right)$ và đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ là đường cong trong hình vẽ bên. Xét hàm số $g\left(x\right)=3f\left(-x^3-x+m+3\right)+\left(x^3+x-m-3\right){\left(x^3+x-m\right)}^2,$ $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc nửa khoảng $\left(-100;100\right]$ để hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;3\right)$ (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Cho hàm số $$y=f\left(x\right)$$ có đạo hàm liên tục trên $$\mathbb{R}$$. Đồ thị hàm số $$y=f^{\prime }\left(x\right)$$ như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số $$y=f\left(x\right)-5x$$ là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số giá trị nguyên của tham số $$m\in \left[-10;10\right]$$ để hàm số $g\left(x\right)={\left[f\left(x\right)+m\right]}^2$ có 5 điểm cực trị là:

Cho hàm số y = f(x)  có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Biết $f\left(2\right)+f\left(6\right)=2f\left(3\right).$ Hỏi phương trình $f\left(x^2+1\right)=f\left(3\right)$ có tất cả bao nhiêu nghiệm (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi $P\left(x\right)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm $P^{\text{'}}\left(x\right)$, gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức: $P^{\text{'}}\left(x\right)=16-0,02x$ với 0 ≤ x ≤ 100. Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần là bao nhiêu triệu đồng (nhập đáp án vào ô trống)? Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

 ______

Trong không gian $Oxyz$, gọi I là tâm mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=4$. Tính $\left|\overrightarrow{OI}\right|$(nhập đáp án vào ô trống).

__ 

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, biết $AB=BC=a$, $AD=2a$, $SA=a\sqrt{3}$ và $SA\perp \left(ABCD\right)$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SA$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left(NCD\right)$ theo $a$ bằng:

Anh Hà dự định làm một cái thùng đựng dầu hình trụ bằng sắt có nắp đậy thể tích $10m^3$. Chi phí làm mỗi mét vuông đáy là 400 ngàn đồng, mỗi mét vuông nắp là 200 ngàn đồng, mỗi mét vuông mặt xung quanh là 300 ngàn đồng. Để chi phí làm thùng là ít nhất thì anh Hà cần chọn chiều cao của thùng là bao nhiêu mét (nhập đáp án vào ô trống, xem độ dày của tấm sắt làm thùng là không đáng kể, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

_____

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$, $A{A}^{\prime }=2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $C{D}^{\prime }$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(3;1;2\right)$, $B\left(-3;-1;0\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+3z-14=0$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho $\Delta MAB$ vuông tại $M$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ (nhập đáp án vào ô trống).

 __