Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 29)

Cho tập $S$ là tập hợp các số tự nhiên lẻ không lớn hơn 10. Số tập con phân biệt khác rỗng của tập hợp $S$ là:

Trong hệ tọa độ Descartes, cho ba điểm A(2;4); B(3;2); C(6;7) . Tính giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}$  (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm $B\left(1;5\right),C\left(5;4\right)$, điểm $A$ luôn di động trên đường tròn có phương trình $(x-6{)}^2+y^2=25$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó điểm $G$ luôn di động trên đường tròn tâm $I\left(a;b\right)$. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ bằng:

Có bao nhiêu cách chọn ba số tự nhiên phân biệt nhỏ hơn 100 sao cho tổng của chúng là một số chia hết cho 3?

Biết tập giá trị của hàm số$f\left(x\right) = \frac{2\cos 2x - 4\cos x +1 }{3-2\cos x - {\sin }^{2}x}$ là T= [a, b] . Số số nguyên nằm trong đoạn [ 5a; 5b] là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

Cho cấp số nhân $\left\{u_n\right\}$ thoả mãn tất cả các điều kiện sau:

i. $\frac{u_4}{u_1}>1$

ii. $u_3,u_5,u_6$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Giá trị của biểu thức $S=\frac{u_7-u_6}{u_5}$ bằng:

Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\left|x^3-2x-5\right|$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là $y=ax+b$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T\left(m\right)=m^2+am+b$.

Số nghiệm của phương trình $x^2=\ln \left(2x^2\ln x+e\right)$ là:

Đáp án:  ___

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng $60^{\circ }$, đồng thời diện tích hình bình hành $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng $\frac{a^2\sqrt{21}}{2}(a>0)$. Khi đó, thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng:

Xét hình chóp S. ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Mặt phẳng (P) đi qua M , song song với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa phần có thể tích bé hơn và phần có thể tích lớn hơn. (nhập đáp án vào ô trống, kết quả viết dưới dạng phân số tối giản)

Đáp án:  _____

Có 6 thanh thép, trong đó 3 thanh có độ dài $3m$, 3 thanh có độ dài $3\sqrt{2}m$. Người ta hàn các đầu của thanh thép đó với nhau một cách phù hợp sao cho chúng tạo thành các cạnh của một tứ diện $ABCD$, trong đó $AB=AC=AD=3m$.

Để trang trí cho các thanh thép, người ta định sử dụng một sợi dây đèn led xuất phát từ điểm $A$, sau đó lần lượt mắc qua các điểm $M,N,P$ thuộc cạnh $BD,BC,CD$ và cuối cùng quay trở lại điểm A (như hình vẽ)

Độ dài ngắn nhất có thể của sợi dây khi đó là bao nhiêu?

Thời gian sử dụng điện thoại trung bình mỗi ngày của 20 học sinh trong một lớp học được cho trong bảng sau:

(đơn vị: phút)

Trung vị của mẫu số liệu trên là:

Trong một bài thi có 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án, trong đó có duy nhất có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,5 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,2 điểm. Một học sinh do chưa học gì nên chọn hoàn toàn ngẫu nhiên câu trả lời cho 20 câu hỏi. Xác suất để học sinh đó đạt được 8 điểm trở lên trong bài kiểm tra đó là bao nhiêu?

Trong một hội trường có một số lượng ghế nhất định, được xếp thành từng hàng một. Hàng đầu tiên có 20 chiếc ghế, và từ hàng thứ hai trở đi, hàng sau có nhiều hơn hàng trước 2 chiếc ghế. Người ta muốn thêm một hàng ghế nữa ở phía sau cùng trong hội trường bằng cách lấy một số lượng ghế nhất định từ những hàng ghế trước đó. Biết rằng nếu từ mỗi hàng đã có, ta lấy đi 4 chiếc ghế và số ghế lấy đi được xếp vào sau cùng tạo thành hàng ghế mới thì số ghế ở hàng sau cùng vẫn đảm bảo nhiều hơn hàng trước 2 chiếc. Tìm số ghế có trong hội trường. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ____

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y= \frac{2mx - 2}{3x - m +2}$ đồng biến trên $(0; +\infty )$?(nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x-m.\ln x$ và $g\left(x\right)=x+\frac{4}{x}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ có đúng 3 điểm cực trị trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ được cho như hình dưới:

Số điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x^2-2x\right)$ là:

Bạn Nam có một tờ giấy hình chữ nhật, kích thước 15x20 cm. Nam muốn cắt phần giấy màu xám nhạt như hình vẽ bên, sao cho sau khi cắt, bạn ấy có thể gấp phần còn lại thành một hình hộp chữ nhật có nắp hoàn chỉnh. Coi một đáy của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là phần được tô màu đỏ.

Tính thể tích lớn nhất của chiếc hộp tạo thành.

(nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án:  ____

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị được cho như hình vẽ sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của $g\left(x\right) = \frac{1}{2} f(2x-1) +3$ trên đoạn [0;2]  (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

Biết đồ thị hàm số $y= \frac{3x^2-4x}{x-2}$ có hai tiệm cận, và hai tiệm cận này cắt nhau tại điểm có hoành độ I(a;b). Tính giá trị của biểu thức P=ab. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

Trong không gian, cho mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình $(x-3{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=25$ và đường thẳng $\left(d\right)$: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=8+t\\ z=0\end{array}$. Gọi $M$ là một điểm bất kì nằm trên mặt cầu $\left(S\right)$. Khi đó, tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm $M$ và đường thẳng $d$.

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.

Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ (200;70;118). Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ (80;105;113)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ______

Trong không gian, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2=4$ và $\left(S_2\right):x^2+y^2+z^2=25$. Gọi $A$ là điểm trên mặt cầu $\left(S_1\right),B$ là điểm trên mặt cầu $\left(S_2\right)$ sao cho $AB=6$. Gọi $M$ là điểm có tọa độ $M\left(1;2;2\right)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=M{A}^2+M{B}^2$ là:

Xét các khẳng định sau:

(I) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K$ thì có đạo hàm trên khoảng $K$.

(II) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ thì liên tục trên khoảng $K$.

(III) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K$ thì có nguyên hàm trên khoảng $K$.

Số khẳng định sai trong các khẳng định nêu trên là:

Đáp án:  ___

Người ta muốn thiết kế một chiếc đĩa. Biết rằng hình dạng của chiếc đĩa là phần chung của 2 elip có phương trình lần lượt là $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} =1$ và $\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{16} =1$ 

Coi như bề mặt của chiếc đĩa là phẳng. Tính diện tích của bề mặt chiếc đĩa. (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án:  ___

Diện tích phần hình phẳng tạo bởi hai đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ và $y=-x^3+3x$ là:

Thể tích vật thể khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+1$ và các đường thẳng $y=0,x=0,x=1$ quanh trục $Oy$ là: