Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)

PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG

Lĩnh vực: Toán học (50 câu – 75 phút)

Câu 1. Một nhóm học sinh lớp 10 trả lời một cuộc khảo sát về khoá học toán mà họ đang theo học. Dữ liệu khảo sát được chia nhỏ như trong bảng sau:

Đáp án nào dưới đây chiếm khoảng 19% tổng số người trả lời khảo sát?

Trong không gian $$Oxyz,$$ gọi $$a,b,c$$ lần lượt là khoảng cách từ điểm  đến các mặt phẳng tọa độ là $\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Oxz\right).$ Giá trị biểu thức $P=a+b^2+c^3$ bằng$M\left(1;3;2\right)$

Cho số phức $z$ thỏa mãn $2z-i\cdot \bar{z}=3i.$ Môđun của $z$ bằng

Một chất điểm chuyển động có phương trình $s=f\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-t^2+4t+5$ ($s$ được tính bằng mét, $t$ được tính bằng giây). Gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t=2$ giây là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=A{A}^{\prime }=a,AC=2a.$ Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left(AC{D}^{\prime }\right)$ bằng

Trong không gian $$Oxyz,$$ phương trình của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left(1;2;-5\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right):2x+3y-4z+5=0$ là

Gọi $$M,N$$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $y=x+1$ và đường cong $y=\frac{2x+4}{x-1}.$ Khi đó hoành độ trung điểm $$I$$ của đoạn $$MN$$ bằng

Cho hình chóp $$S.ABC$$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a,SA\perp \left(ABC\right).$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng $30^{\circ }.$ Thể tích khối chóp $$S.ABC$$ là

Với $a$ là số thực dương tuỳ ý, đặt ${\log }_{2}a=m.$ Khi đó ${\log }_2^2\left(8a^2\right)$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z}{1}$ và điểm $I\left(4;1;6\right).$ Đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I$ tại hai điểm $$A,B$$ sao cho $AB=6.$ Phương trình của mặt cầu $\left(S\right)$ là

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ thì phương trình $m{x}^2-2\left(m-2\right)x+m-3=0$ có hai nghiệm dương phân biệt?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{mx-2}{m+1-x}$ với $m$ là tham số. Số giá trị nguyên thuộc khoảng $\left(-10;10\right)$ để hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ là

Tổng các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}5x-2<4x+5\\ x^2<{\left(x+2\right)}^2\end{array}$ bằng

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $$h\left(t\right)=29+3\sin \left[\frac{\pi }{12}\left(t-9\right)\right]$$ với $h$ tính bằng độ $C$ và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày là

Cho $z_1=2m+\left(m-2\right)i$ và $z_2=3-4mi$, với $m$ là tham số thực. Biết $z_1{z}_2$ là số thuần ảo. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Anh Duy làm bồi bàn tại một nhà hàng ở Hà Nội. Với mỗi bàn phục vụ anh ấy có thể kiếm được 15 hóa đơn. Trong bữa trưa, anh ấy phục vụ 12 bàn và mỗi bàn có hóa đơn trung bình là $$500000$$ đồng. Biết vào buổi tối, mỗi bàn có hóa đơn trung bình là $$900000$$ đồng. Số bàn tối thiểu mà anh ấy cần phục vụ để kiếm được ít nhất $$3600000$$ đồng trong ngày là

Cắt hình trụ $$\left(T\right)$$ bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng $30\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ và chu vi bằng $26\mathrm{cm}.$ Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ $$\left(T\right)$$. Diện tích toàn phần của $$\left(T\right)$$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-2;3\right]$ để hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}\left(2m-3\right)x^2+m+2$ có hai điểm cực trị và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2?

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho hai điểm $A\left(2;-2;1\right),B\left(0;1;2\right).$ Tọa độ của điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho ba điểm $$A,B,M$$ thẳng hàng là

Trên mặt phẳng tọa độ $$Oxy,$$ cho điểm $I\left(1;-1\right)$ và hai đường thẳng $d_1:x+y-3=0$, $d_2:x-2y-6=0.$ Hai điểm $$A,B$$ lần lượt thuộc hai đường thẳng $d_1,d_2$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $$AB.$$ Đường thẳng $$AB$$ có một vectơ chỉ phương là

Cho $4^x+4^{-x}=7.$ Khi đó biểu thức $P=\frac{5-2^x-2^{-x}}{8+4\cdot 2^x+4\cdot 2^{-x}}=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{Z}.$ Giá trị của $$ab$$ bằng

Trong không gian $$Oxyz,$$ có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $x^2+y^2+z^2+2\left(m+2\right)x-2\left(m-1\right)z+3m^2-5=0$ là một phương trình một mặt cầu?

Cho số phức  thỏa mãn $\left|z-1+2i\right|=3.$ Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w=2z+i$ trên mặt phẳng tọa độ $$Oxy$$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là

Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý và 5 học sinh giỏi cả Toán và Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, xác suất để học sinh đó giỏi Toán hoặc giỏi Lý là

Cho tứ diện $$ABCD$$. Gọi $$M,N,E$$ lần lượt là trung điểm của $$AB,BD,DA.$$ Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện $$MNEC$$ và $$ABCD$$ bằng

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{-1}$ và hai điểm $A\left(0;-1;3\right),$ $B\left(1;-2;1\right).$ Điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $M{A}^2+2M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tọa độ là