Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 14)

PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG

Lĩnh vực: Toán học (50 câu – 75 phút)

Câu 1. Dưới đây là điểm chuẩn lớp 10 các trường top đầu tại Hà Nội (2014 – 2018):

Một ô tô bắt đầu chuyển động dần đều với vận tốc $v(t)=7t(\mathrm{m}/\mathrm{s})$, đi được 5 giây thì người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp. Ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-70\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$ Quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bán cho đến khi dừng hẳn là

Trong hệ tọa độ $$Oxy,$$ cho hai điểm $A\left(2;1\right),B\left(-1;7\right).$ Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ là

Cho số phức $z=a+bi\left(a,b\in \mathbb{R}\right)$ thỏa mãn $\left(1+i\right)z+2\bar{z}=3+2i.$ Tính $P=a+b.$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{ax+1}{bx+c}\left(a,b,c\in \mathbb{R}\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Trong các số $$a,b,c$$ có bao nhiêu số dương?

Một cốc nước hình trụ có chiều cao $9\mathrm{cm}$, đường kính $6\mathrm{cm}.$ Mặt đáy phẳng dày $1\mathrm{cm},$ thành cốc dày $0,2\mathrm{cm}.$ Đổ vào cốc $120\mathrm{ml}$ nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính $2\mathrm{cm}.$ mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng

Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ có đồ thị $$\left(C\right)$$ và đường thẳng $d:y=x-m$, với $m$ là tham số thực. Biết rằng đường thẳng $d$ cắt $$\left(C\right)$$ tại hai điểm phân biệt $$A$$ và $$B$$ sao cho điểm $G\left(2;-2\right)$ là trọng tâm của tam giác $$OAB$$ $$(O$$ là gốc tọa độ). Giá trị của $m$ bằng

Cho hình chóp $$S.ABCD$$ có đáy $$ABCD$$ là hình chữ nhật, $AB=a,AD=SA=2a,$ $SA\perp \left(ABCD\right)$. Khi đó $\tan \left(\widehat{\left(SBD\right),\left(ABCD\right)}\right)$ bằng

Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc $\left[-5;10\right]$ của bất phương trình $$2^{x^2+x}\left(3x^2-6x+6\right)\ge 7x^2-29x+34.$$

Cho các số thực dương $x\ne 1,y\ne 1$ thỏa mãn ${\log }_{2}x={\log }_{y}16$ và tích $xy=64.$ Giá trị của biểu thức ${\left({\log }_2\frac{x}{y}\right)}^2$ là

Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, trong đó $m_0$ là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm $t=0),$ $T$ là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon ${}^{14}C$ là khoảng $$5730$$ năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác định được nó đã mất khoảng $$25\%$$ lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=x^3-3x^2+\left(5-m\right)x$ đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ là

Trên mặt phẳng tọa độ $$Oxy,$$ cho điểm $P\left(-3;-2\right)$ và đường tròn $\left(C\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=36.$ Từ điểm $P$ kẻ các tiếp tuyến $$PM$$ và $$PN$$ tới đường tròn $\left(C\right),$ với $$M,N$$ là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng $$MN$$ là

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố  ở vĩ độ $40^{\circ }$ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi một hàm số $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365.$ Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?$\mathrm{A}$

Cho hình chóp $$S.ABC$$ có đáy $$ABC$$ là tam giác vuông tại $$A.$$ Hình chiếu của $$S$$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trung điểm $H$ của $BC,AB=a,AC=a\sqrt{3},SB=a\sqrt{2}.$ Thể tích của khối chóp $$S.ABC$$bằng

Gọi $g\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $$f\left(x\right)=\ln \left(x-1\right).$$ Cho biết $g\left(2\right)=1$ và $g\left(3\right)=a\ln b$ trong đó $$a,b$$ là các số nguyên dương phân biệt. Giá trị của $T=3a^2-b^2$ là

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy là $a$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime }BC\right)$ bằng $\frac{a}{2}.$ Thể tích khối lăng trụ bằng

Biết $M\left(1;-5\right)$ là một điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+4x^2+bx+1.$ Giá trị $f\left(2\right)$ bằng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\left(3^x+3^{6-x}-246\right)\sqrt{5-\ln \left(x+3\right)}\ge 0$ là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=m^2\left(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\right)+4\sqrt{4-x^2}+m+1.$ Tổng tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng 4 là

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho mặt phẳng $(\alpha ):ax-y+2z+b=0$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):x-y-z+1=0$ và $(Q):x+2y+z-1=0.$ Giá trị của $a+4b$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{x+b}{ax-2}\left(ab\ne -2\right).$ Biết rằng $$a,b$$ là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left(1;-2\right)$ song song với đường thẳng $d:3x+y-4=0.$ Khi đó giá trị của $a-3b$ bằng

Cho tứ diện $$ABCD$$ có $AB=1;AC=2;AD=3$ và $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}=60^{\circ }.$ Thể tích $V$ của khối tứ diện $$ABCD$$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$ và hai điểm $A\left(4;3;1\right),B\left(3;1;3\right);M$ là điểm thay đổi trên $(S)$. Gọi $$m,n$$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2M{A}^2-M{B}^2$. Tính $m-n.$