Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 13)

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(0;0;-1\right),B\left(-1;1;0\right),C\left(1;0;1\right)$. Biết $M$ là điểm thỏa mãn $P=3M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ bằng (1) _____.

Cho $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+ax+5}+x\right)=5$. Khi đó giá trị $a$ là (1) ____.

Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(3;1;1\right),N\left(4;3;4\right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-7}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-9}{1}$.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1;0;0\right),B\left(3;1;2\right),C\left(-1;2;1\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{1}$. Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, đi qua $A$ và cắt mặt phẳng $\left(ABC\right)$ theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng (1) _____.

Cho khai triển $(1+2x{)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$ thỏa mãn $a_0+8a_1=2a_2+1$.

Giá trị của $n$ bằng __.

Hệ số của số hạng chứa $x^3$ là ___.

Có (1) __ tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{x-2}-27$ song song với trục hoành.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(x\right)=3f\left(\frac{x}{2}\right)$. Gọi $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left(4\right)=1$ và $2F\left(8\right)+5F\left(2\right)=0$.

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn điều kiện $\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_5\left(5^a{.125}^b\right)=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{25}5$.

Nếu $b=\frac{1}{2}$ thì giá trị của số thực $a$ bằng ___.

Mối liên hệ giữa $a$ và $b$ là $2a+6b=$ __.

Nếu $a$ là số nguyên âm thuộc $\left[-10;-5\right]$ thì có __ giá trị nguyên dương của $b$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-1;6\right]$ và có đồ thị là đường gấp khúc $ABC$ như hình vẽ

Biết $F$ là nguyên hàm của $f$ thỏa mãn $F\left(-1\right)=-1$. Giá trị của $F\left(4\right)+F\left(6\right)$ bằng (1) __.

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm $BC$. Cho biết góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ bằng $60^{\circ }$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho một cái hộp có nắp có dạng hình trụ có bán kính đáy là 10cm và khoảng cách giữa hai đáy là 56cm. Thả các quả bóng có dạng hình cầu vào trong hộp sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Gọi (P) là mặt phẳng song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện ABCD.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

+ Tập xác định của hàm số $y=\tan x$ là __________

+ Tập xác định của hàm số $y=\cot x$ là __________

+ Hàm số __________ là hàm số chẵn.

+ Hàm số __________ là hàm số lẻ.

Cho đa thức $f\left(x\right)=(1+3x{)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$. Biết rằng $a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n=49152n$, khi đó hệ số $a_3$ bằng (1) _____.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ cho bởi hình vẽ bên. Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{x^2}{2},\forall x\in \mathbb{R}$.

Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x$ bằng __.

Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x$ bằng __.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S_1\right)$ có tâm $I_1\left(1;0;1\right)$, bán kính $R_1=2$ và mặt cầu $\left(S_2\right)$ có tâm $I_2\left(1;3;5\right)$, bán kính $R_2=1$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$ lần lượt tại $A$ và $B$.

Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng __.

Giá trị lớn nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng __________.

Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào AB là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị trên đoạn $\left[-1;4\right]$ như hình vẽ bên.

Khi đó, tích phân $I=\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng $\left(P\right)$: $x+y+z-1=0$, $$\left(Q\right):2x+my+2z+3=0$$ và $$\left(R\right):-x+2y+nz=0$$. Tính tổng $m+2n$, biết rằng $\left(P\right)\perp \left(R\right)$ và $\left(P\right)//\left(Q\right)$.

Gọi $I\left(t\right)$ là số ca bị nhiễm bệnh Covid-19 ở quốc gia X sau t ngày khảo sát. Khi đó ta có công thức $I\left(t\right)=A.e^{r_0\left(t-1\right)}$ với A là số ca bị nhiễm trong ngày khảo sát đầu tiên, $r_0$ là hệ số lây nhiễm. Biết rằng ngày đầu tiên khảo sát có 500 ca bị nhiễm bệnh và ngày thứ 10 khảo sát có 1000 ca bị nhiễm bệnh. Hỏi ngày thứ 20 số ca nhiễm bệnh gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng trong suốt quá trình khảo sát hệ số lây nhiễm là không đổi?

Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng lại hẳn sau 20 giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được 120 m. Biết công thức tính vận tốc của chuyển động biến đổi đều là $v=v_0+at$; trong đó a $\left(m/s^2\right)$ là gia tốc, v (m/s) là vận tốc tại thời điểm t (s). Hãy tính vận tốc $v_0$ của xe lửa lúc bắt đầu hãm phanh.

Cho $x=\frac{m}{n}$; m, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\left(m,n\right)=1$. Biết ba số ${\log }_{3}x$, –1, ${\log }_3\left(81x\right)$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính $m+n$.

Số nghiệm của phương trình $\sin 5x+\sqrt{3}\cos 5x=2\sin 7x$ trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là 

Hình bên dưới bao gồm hình chữ nhật ABCD và hình thang vuông CDMN. Các điểm B, C, N thẳng hàng, $AB=CN=2dm$; $BC=4dm$; $MN=3dm$. Quay hình trên xung quanh cạnh BN ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Biết ban đầu có m (gam) Poloni 210. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì khối lượng Poloni 210 còn lại bằng $\frac{1}{10}$ khối lượng ban đầu?

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài lăn là 25 cm.

Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo một diện tích trên bức tường phẳng bằng

Cho hàm số $y=\frac{m\sin x+1}{\cos x+2}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-5;5\right]$ để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn – 1?

Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình $9z^2+6z+1-m=0$ có nghiệm phức thỏa mãn $\left|z\right|=1$. Tính S.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$có M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).