Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 14)

Cho hàm số $$y=f\left(x\right)$$ và $$y=g\left(x\right)$$ xác định và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;b\right)$ và $\left(c;d\right)$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=6;\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=3$.

Tính $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Đáp án: ___

Bạn A có 4 lego và 3 hộp bút để trang trí bàn học. Bạn A muốn xếp chúng thành 1 hàng ngang thẳng hàng sao cho lego và hộp bút xen kẽ nhau.

Hỏi bạn A có bao nhiêu cách xếp?

Đáp án:  ____

Cho hàm số $y=7-2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Giá trị lớn nhất của hàm số là __.

Cho hàm số $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-15}{x-2}=3.$

Tính $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-15}{\left(x^2-4\right)\left[\sqrt{2f\left(x\right)+6}+4\right]}$.

Đáp án: _____

Gọi $S_1,S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x=0;x=\ln 4;x=k(0<k<\ln 4)$ như hình vẽ.

Với $k=1$ thì diện tích $S_1$ bằng _____.

Với $k=1$ thì diện tích $S_2$ bằng _____.

Để $S_1=2S_2$ thì giá trị của $k$ bằng ____.

Cho $1,x,9,y$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Khi đó: x = __; y = ___.

Điền số thích hợp vào chỗ trống:

Số 70560 có tất cả ____ ước nguyên dương.

Cho $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)=\sin 2x$. Biết $F\left(0\right)=1$.

Điền các đáp án vào các ô trống sau:

$F\left(\pi \right)=$__

$F\left(\frac{\pi }{2}\right)+\frac{1}{2}F\left(\frac{\pi }{4}\right)=$ _____.

Cho $a<b<c$ và hàm số $f\left(x\right)$ có xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Đọc các khẳng định sau:

Khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left(C\right):y=x^3+3x^2-6x+1$ sao cho $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M\left(0;1\right)$.

Điền số thích hợp vào chỗ trống:

Khi đó, có __ đường thẳng Δ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cho 2 số thực dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{1}{2}\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{2}a=\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_2\frac{2}{b}$.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4a^3+b^3-4\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_2\left(4a^3+b^3\right)$ được viết dưới dạng $x-y\mathrm{lo}{\mathrm{g}}_{2}z$ với $x,y,z$ đều là các số thực dương lớn hơn 2.

Khi đó tổng $x+y+z$ có giá trị bằng ___.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{mx+1}-1}{x}\mathrm{khi}x\ne 0\\ \frac{n}{30}\mathrm{khi}x=0\end{array}$.

Biết hàm số liên tục tại $x=0$.

Khi đó $\frac{n}{m}=$ ___.

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left|z^2+4\right|=\left|z^2+2iz\right|$.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho hàm số $y=\frac{\left(4-m\right)\sqrt{6-x}+3}{\sqrt{6-x}+m}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng $\left(-10;10\right)$ sao cho hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-8;5\right)$?

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=\left|2x^3-15x+m-5\right|+9x$ trên $\left[0;3\right]$ bằng 60. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số thực m.

Tính chiều dài nhỏ nhất của cái thang để nó có thể dựa vào tường và bắc qua cột đỡ cao 4m. Biết cột đỡ song song và cách tường 0,5m, mặt phẳng chứa tường vuông góc với mặt đất, bỏ qua độ dày của cột đỡ.

Áp suất không khí P là một đại lượng được tính theo công thức $P=P_o{e}^{xi}$ trong đó x là độ cao, $P_o=760mmHg$ là áp suất ở mực nước biển, i là hệ số suy giảm. Biết rằng, ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,72 mmHg. Hỏi áp suất của không khí ở độ cao 15 km gần nhất với số nào trong các số sau?

Cho phương trình $4^{-|x-m|}.{\log }_{\sqrt{2}}\left(x^2-2x+3\right)+2^{2x-x^2}.{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2\left|x-m\right|+2\right)=0$ với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là