Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 12)

Đáp án đúng: 13

Mô đun của z là             .

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết, ta có z = 5 + 12i.

$\left|z\right|=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$.

Đáp án đúng:

Hướng dẫn giải:

$f^{\prime }(x)=x^2+4x+m.$

${\Delta }^{\prime }=4-m$

Vì $m>0$, phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có thể có hai nghiệm phân biệt $(0<m<4)$, nên $f(x)$ có hai điểm cực trị nên không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy khẳng định 1 sai.

Vì $m>4$, phương trình $f^{\prime }(x)>0\forall x\in \mathbb{D}$, nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy khẳng định 2 đúng.

Vì $m>2$, phương trình $f^{\prime }(x)>0\forall x>0$, nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy khẳng định 3 đúng.

Đáp án đúng

Trong không gian Oxyz, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN ta được một hình trụ.

Độ dài đường sinh của hình trụ bằng 1 .

Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 4π .

Hướng dẫn giải:

Ta có $r=\frac{AD}{2}=1;l=AB=1$.

Vậy diện tích toàn phẩn của hình trụ : $S=2\pi rl+2\pi r^2=2\pi .1.1+2.\pi .1^2=4\pi$.

Đáp án “3”

Hướng dẫn giải:

Theo quy tắc ta có: (313 + 1753) chia (1 + 7 + 5) được 414551 dư 3.

Vậy kết quả là 3.

Đáp án

Hướng dẫn giải:

E(2;1;3), mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $(S)$: $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2+(z-5{)}^2=36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong mặt phẳng $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm A, B có khoảng cách nhỏ nhất. Đúng Sai Điểm E nằm ngoài mặt cầu (S).   Δ có một vectơ chỉ phương là $$\overrightarrow{u}=(-1;1;0)$$.   A, B nằm trên đường tròn giao tuyến có tâm là hình chiếu vuông góc của I lên (P).   (ảnh 1)">

Mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-2{)}^2+(z-5{)}^2=36$, có tâm I(3;2;5) và bán kính R = 6.

Ta có: $\overrightarrow{EI}=(1;1;2)\Rightarrow EI=|\overrightarrow{EI}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}<6=R$. Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S).

Ta lại có: E ∈ (P) và $$\{\begin{array}{l}E\in \Delta \\ \Delta \subset \left(P\right)\end{array}$$

Nên giao điểm của (Δ) và (S) nằm trên đường tròn giao tuyến (C) tâm K của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

Giả sử Δ ∩ (S) = {A;B}. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi d(K,Δ) lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên (Δ) khi đó d(K;Δ) = KF ≤ KE.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi F ≡ E.

Ta có $\{\begin{array}{l}IK\perp \left(P\right)\\ KE\perp \Delta \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}IK\perp \Delta \\ KE\perp \Delta \end{array}\Rightarrow IE\perp \Delta$.

Ta có: $\left[{\vec{n}}_{(P)},\overrightarrow{EI}\right]=(5;-5;0)$, cùng phương với $$\overrightarrow{u}=(1;-1;0).$$

Vì $\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(P\right)\\ \Delta \; \perp IE\end{array}$ nên Δ có một vectơ chỉ phương là $$\overrightarrow{u}=(1;-1;0).$$

Suy ra phương trình đường thẳng Δ:$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}$​.