Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 13) – Phần 2

Đáp án

Giải thích

Ta có:

$w=(1-i{)}^2=-2i\Rightarrow$Điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là (0;−2).

$\left|z\right|=\sqrt{10}$

$\left|\frac{\mathrm{w}}{z}\right|=\frac{|\mathrm{w}|}{|z|}\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Đáp án

Bán kính đáy của hình trụ (T) là $2\sqrt{3}$ cm.

Thể tích của khối trụ (T) là $48\pi \sqrt{2}$ cm3.

Giải thích

32π6​ cm2. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau (ảnh 2)">

Giả sử ta có hình trụ như hình vẽ với $I$ là trung điểm của AB.

Khi đó, $OI=2;OA=R\Rightarrow AB=2AI=2\sqrt{R^2-4}$.

Vì thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng nên $h=AD=2AB=4\sqrt{R^2-4}$.

Vì diện tích xung quanh của hình trụ ( $T)$ là $32\pi \sqrt{6}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ nên $S_{xq}=2\pi Rh=32\pi \sqrt{6}$.

$\begin{array}{l}\iff 2\pi R.4\sqrt{R^2-4}=32\pi \sqrt{6}\\ \iff R\sqrt{R^2-4}=4\sqrt{6}\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff R^2\left(R^2-4\right)=96\\ \iff R=2\sqrt{3}\end{array}$

Khi đó, thể tích của khối trụ $(T)$ là $V=\pi R^{2}h=\pi {\left(2\sqrt{3}\right)}^2.2\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4}=48\pi \sqrt{2}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)$.

Đáp án

Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng lại hẳn sau 20s kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Trong thời gian đó, xe chạy được 120m. Biết vận tốc của chuyển động biến đổi đều được tính bằng công thức $v=v_0+at$; trong đó v (m/s) là vận tốc tại thời điểm t (s), v0 (m/s) là vận tốc của xe lửa lúc bắt đầu hãm phanh, a (m/s²) là gia tốc. Khi đó v0 = (1) __ 12 __  m/s.

Giải thích

Tại thời điểm $t=20(s)$ thì $v(20)=0$ nên $v_0+20a=0\Rightarrow a=-\frac{v_0}{20}$.

Do đó, $v(t)=v_0-\frac{v_0}{20}t$.

Mặt khác, $v(t)=s^{\prime }(t)\Rightarrow {\int }_0^{20}v(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{20}{s}^{\prime }(t)\mathrm{d}t={s(t)|}_0^{20}=s(20)-s(0)=120$.

$\Rightarrow {\int }_0^{20}\left(v_0-\frac{v_0}{20}t\right)\mathrm{d}t=120$

Từ đó ta có phương trình $20v_0-10v_0=120\iff v_0=12(\mathrm{m}/\mathrm{s})$.

Đáp án

Giải thích

AB=CD=b,AC=BD=c,AD=BC=d. Gọi $O,O^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{AC}$ và $\mathrm{BD}$. Dựng hai hình bình hành $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime },BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nhận $O^{\prime }$ làm trung điểm, $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nhận $\mathrm{O}$ làm trung điểm. Nối các đoạn thẳng $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$, ta thu được hình hộp $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }.A^{\prime }B{C}^{\prime }D$. Các phát biểu dưới đây là đúng hay sai? Phát biểu Đúng Sai 1) $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }.A^{\prime }B{C}^{\prime }D$ là hình hộp chữ nhật.   2) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng $\pi \left(b^2+c^2+d^2\right)$.   3) Thể tích khối tứ diện ABCD bằng $\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2-d^2\right)\left(b^2-c^2+d^2\right)\left(c^2+d^2-b^2\right)}}{12}$.   (ảnh 1)">

Đáp án

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các phần $(A),(B)$ lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}5x.f\left(5x^2-1\right)\mathrm{d}x$ bằng (1) __ -2 __ .

Giải thích

Theo giả thiết ta có ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x=-7$ suy ra ${\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x=-4$.

Đặt $t=5x^2-1\Rightarrow \mathrm{d}t=10x\mathrm{d}x\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{d}t=5x\mathrm{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-1;x=1\Rightarrow t=4$

Khi đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}5x.f\left(5x^2-1\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{4}{2}=-2.$

Đáp án

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $F_1(-3;0;0),F_2(3;0;0)$. Gọi $(E)$ là tập hợp các điểm $M(x;y;z)$ trong không gian thoả mãn điều kiện $M{F}_1+M{F}_2=10$. Giá trị của $\alpha$ bằng (1) __ 12 __ , trong đó $\alpha$ thoả mãn $M{F_1}^2-M{F_2}^2=\alpha .x$. Giá trị của $\beta$ bằng (2) __ 5 __  trong đó $\beta$ thoả mãn $M{F}_1=\beta +\frac{3x}{5}$. Phương trình của mặt $(E)$ là $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=1$, giá trị của $a$ bằng (3) __ 25 __ , giá trị của $b$ bằng (4) __ 16 __ , giá trị của $c$ bằng (5) __ 16 __ .

Giải thích

Ta có $M{F_1}^2-M{F_2}^2=(x+3{)}^2+y^2+z^2-\left[{(x-3)}^2+y^2+z^2\right]=12x$

$\Rightarrow M{F}_1-M{F}_2=\frac{M{F}_1^2-M{F}_2^2}{M{F}_1+M{F}_2}=\frac{6}{5}x$

$\Rightarrow M{F}_1=\frac{\left(M{F}_1-M{F}_2\right)+\left(M{F}_1+M{F}_2\right)}{2}=5+\frac{3}{5}x$

$\Rightarrow (x+3{)}^2+y^2+z^2=25+6x+\frac{9}{25}{x}^2$

$\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{16}=1$.

Đáp án

Cho $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+ax+5}+x\right)=5$. Khi đó giá trị a là (1) __ -10 __ .

Giải thích

Đặt $t=-x$, ta có

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+ax+5}+x\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{t^2-at+5}-t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{-at+5}{\sqrt{t^2-at+5}+t}$

$=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{-a+\frac{5}{t}}{\sqrt{1-\frac{a}{t}+\frac{5}{t^2}}+1}=\frac{-a}{2}$

Theo giả thiết $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+ax+5}+x\right)=5\iff \frac{-a}{2}=5\iff a=-10$.

Đáp án

Giá trị của a là 31 .

Giá trị của b là 3 .

Giải thích

Với $x<2$, ta có $f(x)=x^2+2x-1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty ;2)$.

Với $x>2$, ta có $f(x)=x+5$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(2;+\infty )$.

Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+2x-1\right)=7$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x+2)=7;f(2)=7.$

Do đó $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=f(2)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.

Đặt $t=\ln \left(x^2+1\right)\to \mathrm{d}t=\frac{2x\mathrm{d}x}{x^2+1}\Rightarrow \frac{x\mathrm{d}x}{x^2+1}=\frac{\mathrm{d}t}{2}$.

Đổi cận:

Với $x=0$ ta có $t=0$

Với $x=\sqrt{e^4-1}$ ta có $t=4$

Khi đó$I=\frac{1}{2}{\int }_0^{4}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left({\int }_0^2\left(x^2+2x-1\right)dx+{\int }_2^4(x+5)dx\right)$

$=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{x^3}{3}+x^2-x\right)|}_0^2+{\left(\frac{x^2}{2}+5x\right)|}_2^4\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{14}{3}+16\right)=\frac{31}{3}$

Đáp án

Từ thông tin của đoạn [1] hãy hoàn thành câu sau bằng cách kéo thả các từ vào đúng vị trí:

Theo đánh giá từ Viện chiến lược và phát triển Giao thông vận tải, tình trạng tắc nghẽn giao thông đang gây ảnh hưởng nghiêm trọng tới đời sống, vậy nên, các cơ quan tổ chức đang áp dụng nhiều biện pháp và ứng dụng khoa học máy tính vào việc thiết kế các hệ thống thu thập và xử lý dữ liệu.

Giải thích

Đọc lại thông tin trong đoạn [1] để tìm ra được một số từ khóa quan trọng: “nhiều các biện pháp được nghiên cứu và áp dụng”, “ứng dụng khoa học máy tính càng được chú ý”, “thiết kế hệ thống thị giác máy tính thu thập và xử lý dữ liệu”. Câu văn đầy đủ là: “Theo đánh giá từ Viện chiến lược và phát triển Giao thông vận tải, tình trạng tắc nghẽn giao thông đang gây ảnh hưởng nghiêm trọng tới đời sống, vậy nên, các cơ quan tổ chức đang [áp dụng] nhiều biện pháp và [ứng dụng] khoa học máy tính vào việc [thiết kế] các hệ thống thu thập và xử lý dữ liệu.”