Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 14)

Đáp án

Giải thích

9 con dê chiếm $$\frac{1}{2}-\frac{3}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$ tổng số dê trong đàn.

Vậy cả đàn có 9 × 8 = 72 con dê trong đó có 36 con dê đang ăn cỏ trên cánh đồng, 27 con dê đang lang thang gần đó và 9 con còn lại đang nước uống bên bờ hồ.

Đáp án

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức $z_1$ có điểm biểu diễn $M$, số phức $z_2$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=3$ và $\widehat{MON}=120^o$. Giá trị lớn nhất của $\left|3z_1+2z_2-3i\right|$ là $M_0$, giá trị nhỏ nhất của $\left|3{\mathrm{z}}_1-2z_2+1-2i\right|$ là $m_0$. Biết $M_0+m_0=a\sqrt{7}+b\sqrt{5}+c\sqrt{3}+d$, với $a,b,c,d\in \mathbb{Z}.a+b+c+d=$ (1) __ 8 __ 

Giải thích

z1​ có điểm biểu diễn $M$, số phức $z_2$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=3$ và $\widehat{MON}=120^{\circ }$. Giá trị lớn nhất của $\left|3z_1+2z_2-3i\right|$ là $M_0$, giá trị nhỏ nhất của $\left|3{\mathrm{z}}_1-2z_2+1-2i\right|$ là $m_0$. Biết $M_0+m_0=a\sqrt{7}+b\sqrt{5}+c\sqrt{3}+d$, với $a,b,c,d\in \mathbb{Z}.a+b+c+d=$ (1) ________ (ảnh 1)">

Gọi $M_1$ là điểm biểu diễn của số phức $3z_1$, suy ra $O{M}_1=3$.

Gọi $N_1$ là điểm biểu diễn của số phức $2z_2$, suy ra $O{N}_1=6$. Gọi $P$ là điểm sao cho

$\overrightarrow{O{M}_1}+\overrightarrow{O{N}_1}=\overrightarrow{OP}$. Suy ra tứ giác $O{M}_{1}P{N}_1$ là hình bình hành.

Do từ giả thiết $\widehat{MON}=120^o$, suy ra ${\widehat{M_{1}ON}}_1=120^o\Rightarrow \widehat{O{M}_{1}P}=60^o$.

Dùng định lí cosin trong tam giác $O{M}_1{N}_1$ ta tính được $M_1{N}_1=\sqrt{9+36-\mathrm{2.3.6.}\left(-\frac{1}{2}\right)}=3\sqrt{7}$;

và định lí cosin trong tam giác $O{M}_{1}P$ ta có $OP=\sqrt{9+36-\mathrm{2.3.6.}\frac{1}{2}}=3\sqrt{3}$.

Ta có $M_1{N}_1=\left|3z_1-2z_2\right|=3\sqrt{7};OP=\left|3z_1+2z_2\right|=3\sqrt{3}$.

Tìm giá trị lớn nhất của $\left|3{\mathrm{z}}_1+2z_2-3i\right|$.

Đặt $3z_1+2z_2=w_1\Rightarrow \left|w_1\right|=3\sqrt{3}$, suy ra điểm biểu diễn $w_1$ là $A$ thuộc đường tròn $\left(C_1\right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính $R_1=3\sqrt{3}$. Gọi điểm $Q_1$ là biểu diễn số phức 3i.

Khi đó $\left|3{\mathrm{z}}_1+2z_2-3i\right|=A{Q}_1$, bài toán trở thành tìm ${\left(A{Q}_1\right)}_{\max }$ biết điểm $A$ trên đường tròn $\left(C_1\right)$.

Dễ thấy ${\left(A{Q}_1\right)}_{\max }=O{Q}_1+R_1=3+3\sqrt{3}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|3{\mathrm{z}}_1-2z_2+1-2i\right|=\left|3{\mathrm{z}}_1-2z_2-(-1+2i)\right|$.

Đặt $3z_1-2z_2=w_2\Rightarrow \left|w_2\right|=3\sqrt{7}$, suy ra điểm biểu diễn $w_2$ là $B$ thuộc đường tròn $\left(C_2\right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính $R_1=3\sqrt{7}$. Gọi điểm $Q_2$ là biểu diễn số phức $-1+2i$.

Khi đó $\left|3{\mathrm{z}}_1-2z_2-(-1+2i)\right|=B{Q}_2$, bài toán trở thành tìm ${\left(B{Q}_2\right)}_{\min }$ biết điểm $B$ trên đường tròn $\left(C_2\right)$.

Dễ thấy điểm $Q_2$ nằm trong đường tròn $\left(C_2\right)$ nên ${\left(B{Q}_2\right)}_{\min }=R_2-O{Q}_2=3\sqrt{7}-\sqrt{5}$.

Vậy $M_0+m_0=3\sqrt{7}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}+3$.

Suy ra $a+b+c+d=8$.

Đáp án

Biết đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+3}+ax+b}{{(x-1)}^2}(C)$ không có tiệm cận đứng. Khi đó, a = $-\frac{1}{4}$ ; b = $-\frac{7}{4}$   và đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 .

Giải thích

Đặt $f(x)=\sqrt{x+3}+ax+b\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}+a$.

Để đồ thị hàm số $(C)$ không có tiệm cận đứng thì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm kép $x=1$.

$\iff \{\begin{array}{l}f(1)=0\\ f^{\prime }(1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2+a+b=0\\ \frac{1}{4}+a=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=-\frac{7}{4}\end{array}$

$\Rightarrow y=\frac{\sqrt{x+3}-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}}{{(x-1)}^2}$

$\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }y=0\Rightarrow y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$.

Đáp án

Giá trị $r$ của số phức zw bằng $5\sqrt{2}$.

Giá trị $\cos \phi$ của số phức $\frac{w}{z}$ bằng $-\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Giá trị $n$ của số phức $z^n$ bằng 2024 .

Giải thích

Với số phức $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ ta có:

$\{\begin{array}{l}a=rcos\phi \\ b=rsin\phi \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2=r^2{\cos }^2\phi \\ b^2=r^2{\sin }^2\phi \end{array}\Rightarrow a^2+b^2=r^2\left({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi \right)\Rightarrow r=\sqrt{a^2+b^2}.$

Với $z=1+i,w=3-4i$ ta có :

+) $zw=7-i\Rightarrow r=\sqrt{7^2+{(-1)}^2}=5\sqrt{2}$

+) $\frac{w}{z}=-\frac{1}{2}-\frac{7}{2}i\Rightarrow r=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{7}{2}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \cos \phi =\frac{a}{r}=\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{5\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}.$

+) Giả sử số phức z có dạng lượng giác là $r^{\prime }(\cos \alpha +i\sin \alpha )$. Khi đó: $r^{\prime }=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

$\Rightarrow z=\sqrt{2}(\cos \alpha +i\sin \alpha )\Rightarrow z^n=(\sqrt{2}{)}^n(\cos n\alpha +i\sin n\alpha )$

Mặt khác, $z^n=2^{1012}=2^{1012}+0.i\Rightarrow r_{z^n}=\sqrt{{\left(2^{1012}\right)}^2+0}=2^{1012}=(\sqrt{2}{)}^n\Rightarrow n=2024$

Đáp án

Giải thích

Thay tọa độ điểm $M(0;-1;-1)$ vào phương trình đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ta thấy đều thỏa mãn. Vậy $M=d\cap (P)$.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng $(P)\Rightarrow \frac{AH}{BK}=\frac{d(A;(P))}{d(B;(P))}=\frac{2}{3}$.

Ta có: $AH//BK\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{AH}{BK}=\frac{2}{3}$.

Nếu $d^{\prime }$ là hình chiếu của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$ thì $d^{\prime }\subset (P)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}\perp \overrightarrow{u_{d^{\prime }}}\iff \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=0.$

Ta có: $\overrightarrow{n_{(P)}}=(2;2;-1);\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(-2;-2;1)\Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=-9\ne 0$.

Vậy $d^{\prime }$ không là hình chiếu của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$.

Đáp án

Hệ số $k=\frac{an-1}{b}$ với ab bằng 6 .

Số giá trị nguyên của $n$ với $n\le 2023$ thỏa mãn là 674 .

Giải thích

Ta có: $(1+2x{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i.2^i{x}^i\Rightarrow a_i=C_n^i.2^i$.

$a_k=a_{k+1}\iff C_n^k{2}^k=C_n^{k+1}{2}^{k+1}\iff \frac{n!}{k!(n-k)!}{2}^k=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}{2}^{k+1}$

$\iff \frac{1}{n-k}=\frac{2}{k+1}\iff k+1=2n-2k\iff k=\frac{2n-1}{3}\Rightarrow ab=6.$

$\mathrm{V}\grave{\mathrm{i}}0\le k\le n-1\mathrm{n}\hat{\mathrm{e}}\mathrm{n}0\le \frac{2n-1}{3}\le n-1\Rightarrow n\ge 2$

Xét các trường hợp sau:

+) $n=3m(m\in \mathbb{N})\Rightarrow k=\frac{2.3m-1}{3}=2m-\frac{1}{3}\notin \mathbb{N}$ (loại)

+) $n=3m+1(m\in \mathbb{N})\Rightarrow k=\frac{2.(3m+1)-1}{3}=2m+\frac{1}{3}\notin \mathbb{N}$ (loại)

+) $n=3m+2(m\in \mathbb{N})\Rightarrow k=\frac{2.(3m+2)-1}{3}=2m+1\in \mathbb{N}$ (tm)

Vậy $2\le n\le 2023$ và $n=3m+2(m\in \mathbb{N})\Rightarrow 2\le 3m+2\le 2023\Rightarrow 0\le m\le 673$.

Vậy có 674 giá trị $m$ thỏa mãn hay có 674 giá trị $n$ nguyên thỏa mãn.

Đáp án

Giả sử $f(x)$ là hàm số liên tục và luôn dương trên [0; 6] thỏa mãn $\sqrt{f(x)f(6-x)}=1$ với mọi $x\in [0;6]$. Giá trị của $I=\underset{0}{\overset{6}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{f(x)}}$ bằng (1) __ 3 __ .

Giải thích

Đặt $t=6-x\Rightarrow \mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=6;x=6\Rightarrow t=0$.

Ta có $I=-{\int }_6^0\frac{\mathrm{d}t}{1+\sqrt{f(4-t)}}={\int }_0^6\frac{\mathrm{d}t}{1+\frac{1}{\sqrt{f(t)}}}={\int }_0^6\frac{\sqrt{f(x)}\mathrm{d}x}{1+\sqrt{f(x)}}$

$\Rightarrow I+I={\int }_0^6\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{f(x)}}+{\int }_0^6\frac{\sqrt{f(x)}\mathrm{d}x}{1+\sqrt{f(x)}}={\int }_0^6\mathrm{d}x=6\Rightarrow I=3$

Đáp án

Giải thích

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff$$\{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2.\\ x=3\end{array}$.

Bảng xét dấu của hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$:

f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^2(x+2)(x-3)$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Phát biểu Đúng Sai Hàm số $f(x)$ có 3 điểm cực trị.   Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên (-2;3).   Hàm số $f(x)$ có điểm cực đại là x = 2.   (ảnh 1)">

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị: x = −2 là điểm cực đại và x = 3 là điểm cực tiểu.

Đáp án

Giải thích

Ta có:

$3{\cos }^{2}x+2|\sin x|=m$

$\iff 3\left(1-{\sin }^{2}x\right)+2|\sin x|=m$

$\iff 3{\sin }^{2}x-2|\sin x|+m-3=0$ (∗∗)

+, Với m = 1, phương trình trở thành: $$3{\sin }^{2}x-2\left|\sin x\right|-2=0\iff [\begin{array}{l}\left|\sin x\right|=\frac{1-\sqrt{7}}{3}\\ \left|\sin x\right|=\frac{1+\sqrt{7}}{3}\end{array}\left(L\right)$$

Vậy với m = 1, phương trình (∗) vô nghiệm.

+, Đặt $t=|\sin x|(t\ge 0)$. Phương trình (∗∗) trở thành: $m=-3t^2+2t+3$.

Phương trình (∗) có nghiệm ⇔(∗∗) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn $0\le \sin x\le 1$.

⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $f(t)=-3t^2+2t+3$ tại ít nhất một điểm có hoành độ thỏa mãn $$0\le t_0\le 1$$.

Bảng biến thiên của hàm số $f(t)=-3t^2+2t+3$ trên [0;1]:

3cos2x+2∣sinx∣=m (∗) với $m$ là tham số. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Phát biểu Đúng Sai Với m = 1, phương trình (∗) có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.   Có 2 giá trị nguyên của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm.   Có một giá trị của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$.   (ảnh 1)">

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\iff 2\le m\le \frac{10}{3}$ hay có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $(\ast )$ có nghiệm.

+ , Trên $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$, nếu $x$ là nghiệm của phương trình $(\ast )$ thì $-x$ cũng là nghiệm của $(\ast )$.

Để phương trình $(\ast )$ có nghiệm duy nhất trên $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ thì $x=0$.

Với $x=0$ ta có: $(\ast \ast )\iff m-3=0\iff m=3$

Thử lại, với $m=3$, phương trình $(\ast \ast )$ trở thành $3{\sin }^{2}x-2\left|\sin x\right|=0\iff$$[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=\pm \frac{2}{3}\end{array}$

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy trên $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$, phương trình $(\ast )$ có nhiều hơn một nghiệm.

3cos2x+2∣sinx∣=m (∗) với $m$ là tham số. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Phát biểu Đúng Sai Với m = 1, phương trình (∗) có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.   Có 2 giá trị nguyên của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm.   Có một giá trị của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$.   (ảnh 2)">

Vậy không tồn tại giá trị của tham số m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$.

Đáp án

Khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến đường thẳng d bằng $\sqrt{5}$ .

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) tới mặt phẳng là lớn nhất có phương trình $$ax+by+cz=18$$ với a = 5  ; b = 2 ; c = 4 .

Giải thích

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;0)$, bán kính $R=2$.

Đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(-2;1;2)$ và điểm $M(4;-1;0)\in d$.

$\overrightarrow{IM}=(3;0;0)\Rightarrow [\overrightarrow{IM};\vec{u}]=(0;-6;3)\Rightarrow d(I;d)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM};\vec{u}\right]\right|}{|\vec{u}|}=\sqrt{5}$

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d$.

Khi đó, $IH\le IK\Rightarrow I{H}_{\max }=IK=d(I;d)=\sqrt{5}$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $I(1;-1;0)$ và nhận $\vec{u}=(-2;1;2)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình: $-2(x-1)+(y+1)+2z=0\iff 2x-y-2z-3=0$.

$\Rightarrow K=d\cap (\alpha )\Rightarrow$ Tọa độ điểm $K$ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\frac{x-4}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2}\\ 2x-y-2z-3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{8}{3}\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=\frac{4}{3}\end{array}$ $\Rightarrow K\left(\frac{8}{3};-\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(4;-1;0)$ và nhận vecto $\vec{n}(5;2;4)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình: $5(x-4)+2(y+1)+4z=0\iff 5x+2y+4z-18=0$.