Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 20) – Phần 2

Đáp án

Giải thích

Đáp án

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left(-1;1;6\right),B\left(-3;-2;-4\right),C\left(1;2;-1\right)$, $D\left(2;-2;0\right)$. Gọi $M\left(a;b;c\right)$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho tam giác $ABM$ có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, $a+c=$ (1) ___1____; b = (2) ____0___.

Giải thích

Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left(-1;1;6\right),B\left(-3;-2;-4\right),C\left(1;2;-1\right)$, $D\left(2;-2;0\right)$. Gọi $M\left(a;b;c\right)$ là điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho tam giác $ABM$ có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, $a+c=$ (1) _______; b = (2) ________. (ảnh 1)">

Gọi $C_{ABM}$ là chu vi của tam giác $ABM$.

$\overrightarrow{AB}=\left(-2;-3;-10\right)\Rightarrow AB=\sqrt{113}$

$\overrightarrow{AB}=\left(-2;-3;-10\right),\overrightarrow{CD}=\left(1;-4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-2+12-10=0\Rightarrow AB\perp CD$

Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $CD$.

Gọi $H$ là giao điểm của $\left(P\right)$ và đường thẳng $CD$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A\left(-1;1;6\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{CD}=\left(1;-4;1\right)$ là: $x-4y+z-1=0$.

Phương trình đường thẳng $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2-4t\\ z=-1+t\end{array}$

Vì $H\in CD$ nên $H\left(1+t;2-4t;-1+t\right)$.

Mà $H\in \left(P\right)\iff 1+t-4\left(2-4t\right)-1+t-1=0\iff t=\frac{1}{2}\iff H\left(\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2}\right)$

Với $\forall M\in CD$, ta có $\{\begin{array}{l}AM\ge AH\\ BM\ge BH\end{array}$

$\Rightarrow AM+BM\ge AH+BH$.

$C_{ABM}=AB+AM+BM\ge \sqrt{113}+AH+BH,\forall M\in CD$.

Suy ra $\min C_{ABM}=\sqrt{113}+AH+BH$, đạt được $M\equiv H\iff M\left(\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2}\right)$

    $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+c=1\\ b=0\end{array}$

Đáp án

Giải thích

+ Khối tứ diện đều có 4 đỉnh và 4 mặt.

+ Có 5 khối đa diện đều lần lượt là: $\left\{3;3\right\};\left\{3;4\right\};\left\{4;3\right\};\left\{3;5\right\};\left\{5;3\right\}$.

+ Có ba loại khối đa diện đều mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều là: khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai mươi mặt đều.

+ Trong một hình đa diện, mỗi cạnh là cạnh chung của hai mặt.

Đáp án

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(Oxz\right)$ là 2 .

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ là 1 .

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là 4 .

Giải thích

Mặt phẳng $\left(Oxz\right)$ có phương trình $y=0$ nên khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(Oxz\right)$ là: 2 . Mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ có phương trình $x=0$ nên khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ là: 1 . Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là: $\frac{|1-2.2+2.\left(-3\right)-3|}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=4$.

Đáp số

1) Biết $f\left(0\right)+f\left(1\right)=a$ (với $a$ là số nguyên). Giá trị của $a$ là -2 .

2) Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=b$ (với $b$ là số nguyên). Giá trị của $b$ là -1 .

3) Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x.f^{\prime }\left(x\right)dx=\frac{c}{d}$ với $c,d$ là các số nguyên và $\left|\frac{c}{d}\right|$ là phân số tối giản.

Giá trị của biểu thức $c+d$ là 7 .

Giải thích

+) Vì $2f\left(x\right)-3f\left(1-x\right)=4x-1,\forall x\in \mathbb{R}$ nên cho

 $x=0\Rightarrow 2f\left(0\right)-3f\left(1\right)=-1$; cho $x=1\Rightarrow 2f\left(1\right)-3f\left(0\right)=3$.

Từ đó ta có hệ $\{\begin{array}{l}2f\left(0\right)-3f\left(1\right)=-1\\ -3f\left(0\right)+2f\left(1\right)=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}f\left(0\right)=\frac{-7}{5}\\ f\left(1\right)=\frac{-3}{5}\end{array}$

+) Ta có ${{\int }^{\text{}}}_0^{1}f\left(x\right)dx={{\int }^{\text{}}}_0^{1}f\left(1-x\right)dx$ nên

 $2f\left(x\right)-3f\left(1-x\right)=4x-1\Rightarrow {{\int }^{\text{}}}_0^1\left[2f\left(x\right)-3f\left(1-x\right)\right]dx={{\int }^{\text{}}}_0^1\left(4x-1\right)dx\iff -{{\int }^{\text{}}}_0^{1}f\left(x\right)dx=1$

$\Rightarrow {{\int }^{\text{}}}_0^{1}f\left(x\right)dx=-1$

+) Ta có: ${{\int }^{\text{}}}_0^{1}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=x.{f\left(x\right)|}_0^1-{{\int }^{\text{}}}_0^{1}f\left(x\right)dx=f\left(1\right)-{{\int }^{\text{}}}_0^{1}f\left(x\right)dx=\frac{-3}{5}+1=\frac{2}{5}$

Khi đó $\frac{c}{d}=\frac{2}{5}\Rightarrow c+d=2+5=7$.

Đáp án

Giải thích

Khẳng định sai là:

+) "Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên âm". Ví dụ: (-1). (-3) $=3>0$.

+) "Hiệu $a-b$ là một số nguyên âm nếu a dương và b dương". Ví dụ: $3-2=1>0$.

Đáp án

Bất bình đẳng giới thể hiện trên nhiều khía cạnh khác nhau như: giáo dục, việc làm và tiền lương, các mặt đó tồn tại và tác động lẫn nhau gây ra nhiều hệ quả, gia tăng khoảng cách giới.

Giải thích

Dựa vào các từ khóa “giáo dục”, “việc làm”, “tiền lương” xác định nội dung cần tìm ở đoạn [4]. Đọc đoạn [4] và tìm thông tin: “các mô hình đều chỉ ra rằng khoảng cách ở khía cạnh này sẽ dẫn tới khoảng cách giới ở một khía cạnh, lĩnh vực khác như một hệ quả kéo theo”. Chú ý “dẫn tới”, “kéo theo” là kết quả của việc các khía cạnh tác động đến nhau.

Câu hoàn chỉnh: Bất bình đẳng giới thể hiện trên nhiều [khía cạnh] khác nhau như: giáo dục, việc làm và tiền lương. Các mặt đó tồn tại và [tác động] lẫn nhau gây ra nhiều [hệ quả], gia tăng [khoảng cách] giới

Đọc đoạn [4] xác định thông tin: “Khi tồn tại… khoảng cách thu nhập”, “có thể dẫn tới việc giảm nhu cầu đối với giáo dục cho nữ giới”, “dẫn tới khoảng cách về giới trong giáo dục”. Vậy thu nhập tác động đến khoảng cách giáo dục. Đoạn [5] có thông tin: “mức tăng trưởng về thu nhập thu hút nữ giới tham gia vào lực lượng lao động, giảm thiểu những rủi ro liên quan tới vấn đề chênh lệch giáo dục”. Việc tăng thu nhập cho nữ giới chỉ giúp giảm thiểu rủi ro chứ không giải quyết được vấn đề một cách triệt để. Nhận định trên không chính xác.

 Chọn B