Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 23) – Phần 2

Đáp án

Giá trị của $k$ bằng 7 .

Giá trị của $p$ bằng  -4 .

Giá trị của $q$ bằng 3 .

Giải thích

x,y,z,a,b,c là ba số thực thay đổi thỏa mãn $x^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=1$ và $a+b+c=4$. Giá trị nhỏ nhất của $P=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$ bằng $\frac{k+p\sqrt{3}}{q}$ (phân số tối giản với $q>0$). (ảnh 2)">

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\left(Oxyz\right)$, gọi điểm $M\left(x;y;z\right)$, điểm $N\left(a;b;c\right)$.

Khi đó $M$ thuộc mặt cầu tâm $I\left(0;1;1\right)$, bán kính $R=1$ và $N$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-4=0$.

Suy ra $P=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=M{N}^2\left(1\right)$.

Ta có $\left|IN-MI\right|\le MN$ suy ra $MN$ nhỏ nhất khi $M,N,I$ thẳng hàng.

Do vậy $MN$ nhỏ nhất khi $N$ là hình chiếu của $I$ lên $\left(P\right)$ và $M$ là giao của $IN$ và mặt cầu.

Khi đó $MN=IN-R$.

Mà $IN=\mathrm{d}\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{|0+1+1-4|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra $P_{\min }=(IN-R{)}^2={\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-1\right)}^2=\frac{7-4\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $k=7;p=-4;q=3$.

Đáp án

Diện tích của hình 2 bằng $3\sqrt{3}$.

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình 2 xung quanh trục $d$ là $\frac{5\sqrt{3}}{3}$$\pi$.

Giải thích

Diện tích của hình 2 bằng tổng diện tích của tam giác đều (hình 1) và 3 tam giác đều cạnh bằng 1 được vẽ thêm. $\Rightarrow$ Diện tích hình 2 bằng: $S=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}+3.\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}$.

Ta có thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng 2 lần thể tích nửa trên khi cho hình $SIABK$ quay quanh trục $SK$.

Tam giác $SIH$ quay quanh trục $SK$ tạo thành khối nón có $r_1=IH=\frac{1}{2};h_1=SH=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Thể tích khối nón này bằng $V_1=\frac{1}{3}\pi r_1{}^2{h}_1=\frac{1}{3}\pi .\frac{1}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi }{24}$

Hình thang vuông $HABK$ quay quanh trục $HK$ tạo thành hình nón cụt có $R=AH=\frac{3}{2};r=BK=1$;

$h=HK=SH=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Thể tích khối nón cụt này bằng $V_2=\frac{\pi h}{3}.\left(R^2+r^2+R.r\right)=\frac{\pi }{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{9}{4}+1+\frac{3}{2}\right)=\frac{19\pi \sqrt{3}}{24}$.

Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng $V=2\left(V_1+V_2\right)=\frac{5\sqrt{3}\pi }{3}$.

Đáp án

Giải thích

Parabol có đỉnh $I(2;5)$ và đi qua điểm $\left(0;1\right)$ có phương trình $y=-x^2+4x+1$.

Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là:

.

Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=0,5$ giờ đến $t=2$ giờ là:

\(\mathop \smallint \nolimits^ _{0,5}^1\left( { - {x^2} + 4x + 1} \right)dx + 4.1 = \frac{{137}}{{24}}\left( {km} \right)\)

Quãng đường vật đi được trong 2 giờ sau là $S_2=2.4=8\left(\mathrm{km}\right)$

Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là $S=S_1+S_2=\frac{8}{3}+8=\frac{32}{3}\left(\mathrm{km}\right)$.

Đáp án

Giải thích

Gọi hình trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$.

Ta có: $V=\pi r^{2}h\Rightarrow h=\frac{64\pi }{\pi r^2}=\frac{64}{r^2}$.

Để tốn ít nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất.

Ta có: $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r.\frac{64}{r^2}=2\pi r^2+\frac{128\pi }{r}$

$=2\pi r^2+\frac{64\pi }{r}+\frac{64\pi }{r}\ge 3\sqrt[3]{2\pi r^2.\frac{64\pi }{r}.\frac{64\pi }{r}}\approx 189,99$.

Số tiền nguyên liệu tối thiểu cần dùng là $T\approx 189,99.105000\approx 19949000$ (đồng).