Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 25)

Đáp án

Giá trị lớn nhất của $f\left(x\right)$ là 12.

Cho $x\in \left(0;20\right)$, số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=0$ là: 3 .

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $f\left(x\right)\ge 12$ trên đường tròn lượng giác là 1 .

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $\mathrm{si}{\mathrm{n}}^{2}x+\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x=1$.

- Giải phương trình và bất phương trình.

Lời giải

$f\left(x\right)=-2\mathrm{si}{\mathrm{n}}^{2}x-6\cos x+6$

$=-2\left(1-\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x\right)-6\cos x+6$

$=2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x-6\cos x+4$

Đặt $\cos x=t\Rightarrow -1\le t\le 1$

$f\left(x\right)=g\left(t\right)=2t^2-6t+4$

$g\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{2};g\left(-1\right)=12;g\left(1\right)=0$

Giá trị lớn nhất của $f\left(x\right)$ là 12.

$f\left(x\right)=0\iff 2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x-6\cos x+4=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=1\left(\mathrm{tm}\right)\\ \cos x=2\left(\mathrm{ktm}\right)\end{array}\iff x=k2\pi$

Ta có $x\in \left(0;20\right)\Rightarrow 0<k2\pi <20$

$\iff 0<k<3,18\iff k\in \left\{1;2;3\right\}$

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=0$ là 3

$f\left(x\right)\ge 12\iff 2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x-6\cos x+4\ge 12$

$\iff 2\mathrm{co}{\mathrm{s}}^{2}x-6\cos x-8\ge 0$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(\cos x-4\right)\ge 0$

$\iff \cos x+1\le 0$

$\iff \cos x\le -1$

Mà $\cos x\ge -1\Rightarrow \cos x=-1$

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $f\left(x\right)\ge 12$ trên đường tròn lượng giác là 1 .

Đáp án

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính.

Lời giải

Ta có $z=\frac{3+3i}{1-i}=3i\Rightarrow M\left(0;3\right)\Rightarrow a=0;b=3$.

Đáp số

Phương pháp giải

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $K$ ($K$ có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1,x_2\in K:x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1,x_2\in K:x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Lời giải

+) Với $x_1;x_2\in \left(a;b\right)$ thỏa mãn $x_1<x_2<0$ thì $x_1;x_2\in \left(a;0\right)$

Mà hàm số nghịch biến trên $\left(a;0\right)$ nên $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

=> Mệnh đề 1 sai

+) Hàm số nghịch biến trên $\left(a;0\right)$ nên với $x_0\in \left(a;0\right)$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)<0$

=> Mệnh đề 2 đúng

+) Quan sát đồ thị ta thấy khi $x\in \left[a;b\right]$ thì $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Khi đó với $x_0\in \left(0;b\right)$ thì $f\left(x_0\right)<f\left(a\right)$

=> Mệnh đề 3 đúng

Đáp án

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: 1

Công sai của cấp số cộng là: 2

Phương pháp giải

Sử dụng công thức $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$ và $S_n=\frac{n.\left(u_1+u_{12}\right)}{2}$.

Lời giải

Ta có $\{\begin{array}{l}{u}_{12}=23\\ S_{12}=144\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+11d=23\\ \frac{12}{2}\left(u_1+u_{12}\right)=144\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=\frac{23-u_1}{11}=2.\end{array}$

Đáp án

Phương pháp giải

Đặt $t=111\dots 1$ (2024 chữ số 1).

Lời giải

Nếu $a$ chẵn thì $a=2k\Rightarrow a^2=4k^2\Rightarrow a^2⋮4\Rightarrow$ Khẳng định 1 đúng.

Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào vì dễ thấy giữa $n^2$ và $(n+1{)}^2$ không thể tồn tại $k^2$ thỏa mãn: $n<k<n+1\Rightarrow$ Khẳng định 2 đúng.

Ta có: $A=\left({10}^{2023}+{10}^{2022}+\dots +10+1\right)\left({10}^{2024}+11\right)+5$                 

$$\iff A=\underset{2024}{\underbrace{111\dots 1}}\left({10}^{2024}+11\right)+5$$

Đặt $t=111\dots 1$ (2024 chữ số 1).

$\Rightarrow 9t+1=10^{2024}$

Suy ra:

$A=t.\left(9t+1+11\right)+5$

$A=9t^2+12t+4+1$

$A=(3t+2{)}^2+1$

Ta thấy $(3t+2{)}^2$ là số chính phương nên $A$ không là số chính phương.

$\Rightarrow$ Khẳng định 3 sai.

Đáp án

Phương pháp giải

Tính từng giá trị hoặc sử dụng máy tính bỏ túi.

Lời giải

Tính u15:

Cách bấm máy tính CASIO FX580 VNX:

(un​) thỏa mãn: $u_1=-20$ và $\{\begin{array}{l}{u}_{2n}=-2u_{2n-1}\\ u_{2n+1}=3u_{2n-1}\end{array}\forall n\ge 1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? ĐÚNG SAI Giá trị của $u_{15}$ là -29160   Giá trị của $S_{15}$ là -21880   Khi $S_n=65600$ thì $n=18$   (ảnh 1)">

$-20$ là giá trị đầu tiên.

$-2A\to B$ là giá trị của $u_{2n}$

$3A\to A$ là giá trị của $u_{2n+1}$

Ta có: 15 là số lẻ nên

$u_{15}=-43740\Rightarrow$ Khẳng định 1 sai.

Tính $S_{15}$:

Cách bấm máy tính CASIO FX580 VNX:

(un​) thỏa mãn: $u_1=-20$ và $\{\begin{array}{l}{u}_{2n}=-2u_{2n-1}\\ u_{2n+1}=3u_{2n-1}\end{array}\forall n\ge 1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? ĐÚNG SAI Giá trị của $u_{15}$ là -29160   Giá trị của $S_{15}$ là -21880   Khi $S_n=65600$ thì $n=18$   (ảnh 2)">

Khi đó $S_{15}=-21880\Rightarrow$ Khẳng định 2 đúng.

Cứ như thế thì khi $S_n=65600\Rightarrow n=16\Rightarrow$ Khẳng định 3 sai.

Đáp án

Độ dài đoạn thẳng $HB$ là $\frac{a\sqrt{13}}{4}$

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $\frac{a^3\sqrt{13}}{16}$

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí cos.

Lời giải

S.ABC, H là chân đường cao của hình chóp thỏa mãn $AH=\frac{1}{4}AC$, đều cạnh $a$, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ }$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (ảnh 2)">

Áp dụng định lí cos cho tam giác $HBC$ ta được:

$H{B}^2=H{C}^2+B{C}^2-2HC.BC.\cos 60^{\circ }$

$={\left(\frac{3a}{4}\right)}^2+a^2-2.\frac{3a}{4}.a.\frac{1}{2}$

$=\frac{13a^2}{16}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{13}}{4}$

Góc giữa $SB$ và $\left(ABC\right)$ bằng $60^{\circ }$ nên $\widehat{SBH}=60^{\circ }\Rightarrow SH=HB\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{39}}{4}$

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{39}}{4}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$=\frac{\sqrt{13}}{16}{a}^3$