Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 28) – Phần 2

Giá trị của $n$ bằng 5.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x$ của khai triển $(3x-1{)}^n$ là 15.

Giá trị của biểu thức $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n$ bằng 32.

Giải thích

Xét khai triển: $(1+x{)}^n=C_n^0+x{C}_n^1+x^2{C}_n^2+\dots +x^n{C}_n^n$.

Thay $x=2$ ta có: $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=(1+2{)}^n=3^n$.

Theo đề bài: $3^n=243\iff n=5$.

Với $n=5$ thì:

+) $(3x-1{)}^n=(3x-1{)}^5=\sum _{k=0}^5{C}_5^k{(3x)}^{5-k}.{(-1)}^k=\sum _{k=0}^5{C}_5^k{3}^{5-k}.{(-1)}^k.x^{5-k}$

Ta có: $5-k=1\iff k=4$.

Hệ số của số hạng chứa $x$ của khai triển là $C_5^4.3^{5-4}.(-1{)}^4=15$.

+) $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots +C_n^n=(1+1{)}^n=2^n=2^5=32$.

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì xác suất để lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5 là $\frac{1}{7}$.

b) Lấy ngẫu nhiên từ hộp một số quả cầu. Cần phải lấy ít nhất 4  quả cầu để xác suất lấy được ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 lớn hơn $\frac{3}{4}$.

Giải thích

a) Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp thì số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\mathrm{\Omega }\right)=C_8^2$.

Gọi biến cố $A$: "Lấy được 2 quả cầu ghi số có tổng bằng 5".

Hai quả cầu ghi số có tổng bằng 5 thì số trên 2 quả là 1 và 4 hoặc 2 và $3\Rightarrow n\left(A\right)=2+2=4$.

Vậy xác suất cần tìm là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{4}{C_8^2}=\frac{1}{7}$.

b) Nhận thấy trong 8 quả cầu đã cho, có 2 quả ghi số chia hết cho 3 là 3 và $6;6$ quả còn lại ghi số không chia hết cho 3.

Giả sử rút ra $x$ quả $(1\le x\le 8,x\in \mathbb{N}$ ). Lấy ngẫu nhiên $x$ quả từ 8 quả trong hộp thì số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\mathrm{\Omega }\right)=C_8^x$.

Gọi biến cố $A$ : "Trong $x$ quả lấy ra có ít nhất 1 quả ghi số chia hết cho 3 ".

Biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$ : "Trong $x$ quả lấy ra không có quả nào ghi số chia hết cho 3" $\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=C_6^x$.

$\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{C_6^x}{C_8^x}=\frac{6!}{x!\left(6-x\right)!}:\frac{8!}{x!\left(8-x\right)!}=\frac{\left(8-x\right)\left(7-x\right)}{56}$.

Theo đề bài

$P\left(A\right)>\frac{3}{4}\Rightarrow 1-P\left(\overline{A}\right)>\frac{3}{4}\iff 1-\frac{\left(8-x\right)\left(7-x\right)}{56}>\frac{3}{4}\iff \frac{\left(8-x\right)\left(7-x\right)}{56}<\frac{1}{4}\iff x^2-15x+42<0$

$\iff 3,7\approx \frac{15-\sqrt{57}}{2}<x<\frac{15+\sqrt{57}}{2}\approx 11,3$ mà $1\le x\le 8,x\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow$ Giá trị nhỏ nhất của $x$ là 4 .

Vậy cần phải lấy ít nhất 4 quả cầu.

Giải thích

+) Chọn ngẫu nhiên 3 người từ nhóm để lập một ban đại diện thì số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\mathrm{\Omega }\right)=C_{15}^3=455$.

Gọi $A$ là biến cố: "Xuân là một trong ba người được chọn".

Có 1 cách chọn Xuân trong nhóm 15 người.

Có $C_{14}^2$ cách chọn 2 người trong 14 người còn lại.

Suy ra $n\left(A\right)=1.C_{14}^2=91$.

Xác suất cần tìm là $P\left(A\right)=\frac{91}{455}=0,2$.

+) Chọn ngẫu nhiên 2 người từ nhóm để làm nhóm trưởng và nhóm phó thì số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\mathrm{\Omega }\right)=15.14=210$.

Gọi $A$ là biến cố: "Xuân không làm nhóm trưởng cũng như nhóm phó".

Trong 14 người còn lại, chọn nhóm trưởng có 14 cách, chọn nhóm phó có 13 cách.

Suy ra $n\left(A\right)=14.13=182$.

Xác suất cần tìm là $P\left(A\right)=\frac{182}{210}=\frac{13}{15}\approx 0,87>0,8$.

Tập hợp các điểm $M\left(x;y\right)$ là đường thẳng có phương trình: $x-y-3=0$.

Giá trị nhỏ nhất của $$P=\left|z-1-2i\right|$$ là: $2\sqrt{2}$.

Giải thích

Do $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z\Rightarrow z=x+yi$.

$\left|z-2+3i\left|=\right|iz-1\left|\iff \right|x+yi-2+3i\left|=\right|x.i-y-1\right|$

$\iff (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=x^2+(y+1{)}^2$

$\iff -x+y+3=0$.

Tập hợp các điểm $\mathrm{M}$ là đường thẳng $\left(a\right):-x+y+3=0$ hay $x-y-3=0$.

Ta có $P=\left|z-1-2i\right|=MI,I\left(1;2\right)$.

Do đó $P_{\min }=I{M}_{\min }=d\left(I,\left(a\right)\right)=\frac{|1-2-3|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.

Giải thích

Điều kiện xác định: $x+1>0\iff x>-1$.

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là $D=\left(-1;+\infty \right)$.

Xét $$f(x)=0\iff (2x-7)\ln (x+1)=0\iff \{\begin{array}{c}2x-7=0\\ \ln (x+1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{7}{2}\left(t/m\right)\\ x=0\end{array}$$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Tại $x=0\Rightarrow f\left(0\right)=0$.

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm duy nhất.