Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 16)

150 câu · Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội đầy đủ · Phần 1/3: câu 1–48

15/150 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 135 câu còn lại.

Câu 1

Hình vẽ dưới đây mô tả lượng dầu thô xuất khẩu, nhập khẩu của nước ta giai đoạn 2012 - 2018

(Nguồn: PVOIL)

Hòi từ năm 2012 -2018 trung bình nước ta xuất khẩu bao nhiêu triệu tấn dầu thô?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Cho ${(\sqrt{2} - 1)}^{m} < {(\sqrt{2} - 1)}^{n}$ . Khi đó:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 3

Tập nghiệm bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}} x < 0$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 4

Trong không gian Oxyz , cho các vectơ

\vec{a} = (- 2; - 3; 1)

và

\vec{b} = (1; 0; 1)

. Côsin góc giữa hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 5

Hệ phương trình ${\begin{matrix} x + y + 2 x y + 3 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 3 \end{matrix}$ có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 6

Bất phương trình $(x^{2} - 2 x) (2 x - 2) - \frac{18 x - 18}{x^{2} - 2 x} \leq 0$ có số nghiệm nguyên dương là :

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 7

Tổng các nghiệm của phương trình $\tan^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \tan x + \sqrt{3} = 0$ trong khoảng $(0; \frac{π}{2})$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 8

Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 9

Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số $Q = 5 t^{2} + 8 t + 5$ (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 3

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 10

Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M trên cạnh AC dựng mặt phẳng (P) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt BC, BD, AD tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 11

Cho hàm số $y = m x^{4} + (m - 1) x^{2} + m^{2} - m + 1 (C)$ . Tìm m để đồ thị hàm số (C) chỉ có một cực trị

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 12

Gọi$M, m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số $f (x) = \frac{4}{3} \sin^{3} x - \sin x + 1$ trên $[0; π]$ . Khi đó giá trị M + m bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 13

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bời các đường $y = - x^{2} - 2 x + 1, y = m, (m > 2), x = 0, x = 3$ .Giá trị của m sao cho $S = 39$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 14

Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2} - x - 6

và trục hoành được tính theo công thức

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 15

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - i$ và $z_{2} = 1 + i$ . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn của số phức $2 z_{1} + z_{2}$ có tọa độ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 16

Số phức liên hợp của số phức $z = i (1 - 2 i)$ có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là điểm nào dưới đây

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 17

Phần thực của số phức $z = {(1 + i)}^{19}$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 18

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với $A B = A C = a, \hat{B A C} = 120^{°}$ , mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc $60^{°}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 19

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại AB = a và AC = 2a. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 20

Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh của hình trụ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 21

Chọn câu đúng:

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 22

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục Oz?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 23

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 1; 2), B (- 1; 2; 3)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ . Tìm điểm M (a;b;c) thuộc d sao cho $M A^{2} + M B^{2} = 28$ biết c < 0.

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 24

Tập nghiệm của phương trình: $\sqrt{x^{2} + 5 x + 8} - \sqrt{x + 5} + x + 1 = 0$ có bao nhiêu phần tử?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 25

Cho A ( -1;1) và điểm $I (a; 2 a - 1)$ . Giá trị của a để IA có độ dài nhỏ nhất là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 26

Cho điểm M(x;y) có ${\begin{matrix} x = - 1 + 2 \cos t \\ y = 2 - 2 \sin t \end{matrix} (t \in ℝ)$ . Tập hợp điểm M là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 27

Từ các chữ số {1;2;3;4;5} có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số mà chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 28

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số $y = - x^{3} - m x^{2} + (4 m + 9) x + 5$ nghịch biến trên khoàng $(- \infty; + \infty)$ ?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 29

Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S = A . e^{n i}$ , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là số dân sau n năm, i là tỷ lệ phần trăm tăng dân số hàng năm. Biết rằng tại Việt Nam, năm 1993 dân số là 63 triệu người, năm 2017 dân số là 93 triệu người. Hỏi tỉ lệ tăng dân số ở Việt Nam hằng năm theo tỷ lệ là bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 30

Biết $I = \int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{x^{2} - 1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x = \frac{π}{2 a} + b \sqrt{3} + c (a, b, c \in ℤ^{*})$ . Khi đó, $P = - α + b + c$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 31

Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành và thể tích là V. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A'D', BC,CD,BD. Thể tích khối MNPQ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 32

Trong không gian, cho hai điểm

A (- 4; 1; 1), B (0; 3; 1)

. Tập hợp điểm M thỏa mãn

M A^{2} + M B^{2} = 12

là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 33

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số y= f

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

$g (x) = 4 f (3 x^{2} + 6 x - m) - 9 x^{4} - 36 x^{3} + 6 (m - 6) x^{2} + 12 m x - 5$ có đúng 3 điểm cực trị.

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 34

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số y'= f(x) được cho như hình vẽ.

Hàm số $y = f (1 - \frac{x}{2}) + x$ nghịch biến trên khoảng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 35

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(2;3;4). Một mặt cầu (S) có bán kính R luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn AB luôn nằm trong (S) (Mọi điểm thuộc đoạn AB đều nằm trong (S)). Giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 36

Câu tự luận

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : {\begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 + t \\ z = 2 t \end{matrix}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y + z - 1 = 0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua điểm A( 1;2;5) , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng $∆$ là $\frac{x - 1}{a} = \frac{y - 2}{b} = \frac{z - 5}{c}$ . Tính $a + b + c$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d và $∆$ thì $M (2; 2 + t; 2 t)$ .

Ta có $\vec{A M} = (1; t; - 5 + 2 t)$ là véc tơ chì phương của đường thẳng $∆$ .

Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có véc tơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (2; 1; 1)$ .

Vì $Δ / / (P) \Rightarrow \vec{A M} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 5 + 2 t = 0 \Leftrightarrow t = 1$ . Vậy $\vec{A M} = (1; 1; - 3)$ .

Vậy phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm A( 1;2;5) là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 5}{- 3}$ .

Suy ra $a + b + c = 1 + 1 + (- 3) = - 1$ .

Câu 37

Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số $Q = 25 t^{2} + 24 t + 5$ (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 5.

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 38

Câu tự luận

Cho hàm số $y = m x^{4} - (m + 1) x^{2} - 2019$ . Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị là $(- \infty; a) \cup (b; + \infty)$ . Tính a + b .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Nếu m = 0 : hàm số trờ thành hàm số bậc hai $y = - x^{2} - 2019$ không thể có 3 cực trị, loại m = 0.

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 m x^{3} - 2 (m + 1) x = 0 (*)$ .

Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.

$(*) \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 2 m x^{2} = m + 1 (* *) \end{matrix} .$

(**) có 2 nghiệm phân biệt khác $0 \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq - 1 \\ \frac{m + 1}{m} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq - 1 \\ [\begin{matrix} m > 0 \\ m < - 1 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow m \in (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty)$ .

Vậy $a - b = - 1 - 0 = - 1$ .

Câu 39

Câu tự luận

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên

Hỏi phương trình $| f (x) | = 2$ có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f (x) ta có bảng biến thiên của hàm số $y = | f (x) |$ như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên Hỏi phương trình |f(x) =2 có bao nhiêu nghiệm? (ảnh 2)

Số nghiệm của phương trình $| f (x) | = 2$ là số giao điểm của đồ thị $y = | f (x) |$ và đường thẳng y = 2.

Dựa vào hình trên số giao điểm của đồ thị $y = | f (x) |$ và đường thẳng y = 2 là 5 nên số nghiệm của phương trình $| f (x) | = 2$ là 5.

Câu 40

Câu tự luận

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ trên đoạn [0;2] . Giá trị của M + m bằng

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hàm số đã cho liên tục trên nên cũng liên tục trên đoạn [0;2].

Ta có: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ .

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{1}{3} . \end{matrix})$

$f (1) = f (0) = 1; f (\frac{1}{3}) = \frac{31}{27}; f (2) = 3.$

Suy ra $M = \max_{x \in [0; 2]} f (x) = 3; m = \min_{x \in [0; 2]} f (x) = 1$ . Suy ra $M + m = 4$ .

Câu 41

Câu tự luận

Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn [1;3] thỏa: $\int_{1}^{3} [f (x) + 3 g (x)] d x = 10; \int_{1}^{3} [2 f (x) - g (x)] d x = 6$ .Tính giá trị tích phân $\int_{1}^{3} [f (x) + g (x)] d x$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Đặt: $a = \int_{1}^{3} f (x) d x; b = \int_{1}^{3} g (x) d x$ .

Khi đó $\int_{1}^{3} [f (x) + 3 g (x)] d x = 10 \Leftrightarrow a + 3 b = 10$ (1)

$\int_{1}^{3} [2 f (x) - g (x)] d x = 6 \Leftrightarrow 2 a - b = 6$ (2)
Từ (1); (2) ta có phương trình ${\begin{matrix} a + 3 b = 10 \\ 2 a - b = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 4 \\ b = 2 \end{matrix}$ .

Vậy $\int_{1}^{3} [f (x) + g (x)] d x = a + b = 6$ .

Câu 42

Câu tự luận

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là các nghiệm cùa phưong trình $z^{2} + 2 z + 10 = 0$ trên tập hợp số phức, trong đó $z_{1}$ là nghiệm có phần ảo dương. Số phức $w = 3 z_{1} - 2 z_{2}$ là a + bi. Tính a + b .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có $z^{2} + 2 z + 10 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} z_{1} = - 1 + 3 i \\ z_{2} = - 1 - 3 i \end{matrix}$

$w = 3 z_{1} - 2 z_{2} = 3 (- 1 + 3 i) - 2 (- 1 - 3 i) = - 1 + 15 i .$

Vậy $a + b = - 1 + 15 = 14.$

Câu 43

Câu tự luận

Trên các cạnh AB. BC,CD,DA của tứ giác lồi ABCD ta lần lượt lấy 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm và n điểm $(n \in ℕ *)$ mà không có điểm nào trùng với đỉnh của tứ giác. Tìm n biết rằng từ điểm đó ta lập được 439 tam giác.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Số cách lấy 3 điểm từ tập hợp gồm n + 6 phân biệt trên là: $C_{n + 6}^{3}$ cách.

Số cách lấy 3 điểm từ n điểm phân biệt trên cạnh AD là: $C_{n}^{3}$ cách.

Có 1 cách lấy 3 điểm từ 3 điểm phân biệt trên cạnh CD.

Số tam giác lập được từ n + 6 điểm trên là: $C_{n + 6}^{3} - C_{n}^{3} - 1 = 439$ .

Giài phương trình trên ta được n = 10.

Vậy n = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 44

Giá trị của $M = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 4 x} - \sqrt[8]{1 + 6 x}}{1 - \cos 3 x}$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 45

Câu tự luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC =a. Biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc đường thẳng SD và mặt đáy là 60. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng $\frac{a \sqrt{p}}{q}$ . Tính p - q.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi M trung điểm AB nên $S M ⊥ (A B C D)$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC =a. Biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. (ảnh 1)

Dựng $M E ⊥ B C; M F ⊥ S E \Rightarrow d [M, (S B C)] = M F$

$M E = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ (phân nữa đường cao tam giác đều ABCMD là hình chiếu SD lên mặt phẳng (ABCD) nên $(S D, \hat{(A B C D)}) = \hat{S D M}$

$\begin{matrix} M D^{2} = A M^{2} + A D^{2} - 2 A M . A D . \cos \hat{M A D} \\ = \frac{a^{2}}{4} + a^{2} - 2. \frac{a}{2} . a . \cos 120^{°} = \frac{7 a^{2}}{4} . d \end{matrix}$

$S M = D M . t a n \hat{S D M} = \frac{a \sqrt{7}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{21}}{2}$

$\frac{1}{M F^{2}} = \frac{1}{M S^{2}} + \frac{1}{M E^{2}} = \frac{4}{21 a^{2}} + \frac{16}{3 a^{2}} = \frac{116}{21 a^{2}}$

$d [A D, S C] = 2 M F = \frac{a \sqrt{609}}{29} .$

Vậy $p - q = 609 - 29 = 580$

Câu 46

Câu tự luận

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 2a . Tam giác ABC vuông tại A , AB = a, $A C = a \sqrt{3}$ . Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC Biết cô-sin góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' là $\frac{1}{a}$ và B'C' là $\frac{1}{a}$ . Tính a.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Gọi H là trung điểm $B C \Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B C)$ .

Ta có $\vec{A A^{'} \cdot} \cdot \vec{B^{'} C^{'}} = (\vec{A H} + \vec{H A^{'}}) \cdot \vec{B C} = \vec{A H} \cdot \vec{B C} + \vec{H A^{'}} \cdot \vec{B C} = \vec{A H} \cdot \vec{B C}$ do $A^{'} H ⊥ (A B C) \Rightarrow A^{'} H ⊥ B C$ .

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A C} - \vec{A B}) - \frac{1}{2} (A C^{2} - A B^{2}) = \frac{1}{2} (3 a^{2} - a^{2}) = a^{2} .$ .

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 2 a$

Vậy $\cos (A A^{'}; B^{'} C^{'}) = \frac{(\vec{A A^{'}} \cdot \vec{B^{'} C^{'}})}{A A^{'} \cdot B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2}}{2 a \cdot 2 a} = \frac{1}{4} .$

Câu 47

Câu tự luận

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 20; 20]$ để hàm số $y = f (| 12 x + 1 | + m)$ có đúng 5 điểm cực trị?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có số điểm cực trị của hàm số $y = f (| x | + m)$ và hàm số $y = f (| 12 x + 1 | + m)$ bằng nhau.

Hàm số $y = f (| x | + m)$ là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Do đó, để hàm số $y = f (| x | + m)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $y = f (x + m)$ có hai điểm cực trị lớn hơn 0.

Ta có: $y^{'} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + m = - 1 \\ x + m = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - m - 1 \\ x = - m + 1 \end{matrix}$ .

Do $- m - 1 < - m + 1$ nên để hàm sổ $y = f (x + m)$ có hai điểm cực trị lớn hơn 0 thì $- m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1$ .

Do m nguyên thuộc đoạn [-20; 20] nên $m \in {- 20; - 19; \dots; - 2}$ .

Vậy có 19 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 48

Câu tự luận

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

0 < x \leq = //// 2021 = ////="""

và

= """=//// 2^{x} + \log = {///}_{2} \frac{x}{2 - y} = // 2^{2 - y} //="">

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $2^{x} + \log_{2} \frac{x}{2 - y} = 2^{2 - y} \Leftrightarrow 2^{x} + \log_{2} x = 2^{2 - y} + \log_{2} (2 - y)$ . điều kiện: $(\begin{matrix} x > 0 \\ y < 2 \end{matrix})$

Xét $f (t) = 2^{t} + \log_{2} t \Rightarrow f^{'} (t) = 2^{t} \cdot \ln 2 + \frac{1}{t \cdot \ln 2} > 0, \forall t \in (0; 2020] \Rightarrow x = 2 - y$ .

Với mỗi x > 0 thì ta có duy nhất một giá trị y < 2. Cho nên 2021 giá trị x nguyên thỏa mãn $0 < x \leq 2021$ thì ta có 2021 giá trị y.