Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)

PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG

Lĩnh vực: Toán học (50 câu – 75 phút)

Câu 1. Dựa vào bảng sau hãy cho biết các loại nước của nhãn hiệu Vfresh chiếm tỉ lệ người dùng cao nhất đặc biệt là sản phẩm nước cam ép chiếm bao nhiêu phần trăm?

Hình chóp tam giác đều $$S.ABC$$ có cạnh đáy là $a$ và mặt bên tạo với đáy góc $45^{\circ }.$ Thể tích khối chóp $$S.ABC$$ theo $a$ là

Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^2-4z+13=0$ và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn cho hai số phức $z_1,z_2$ trong mặt phẳng tọa độ $$Oxy.$$ Diện tích tam giác $$OAB$$ bằng

Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn $\left(O\right),\left(O^{\prime }\right)$ bán kính bằng $a,$ chiều cao hình trụ gấp 2 lần bán kính đáy. Các điểm $$A,B$$ tương ứng nằm trên hai đường tròn $\left(O\right),\left(O^{\prime }\right)$ sao cho $AB=a\sqrt{6}.$ Thể tích khối tứ diện $ABO{O}^{\prime }$ theo $a$ bằng

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G\left(x\right)=0,035x^2\left(15-x\right),$trong đó $$x$$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}3x+1& \mathrm{khi}x>2\\ ax-2a+b& \mathrm{khi}x\le 2\end{array}.$ Biết $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x^2+1\right)xdx=5.$$ Giá trị của biểu thức $T=2a-b^2+1$ bằng

Số nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(4^x+4\right)=x-{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)$ là

Một lớp học sinh có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

Tìm số nghiệm nguyên dương $\left(x;y\right)$ của bất phương trình $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\le 1$?

Trong không gian với hệ tọa độ $$Oxyz,$$ cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A\left(-2;1;3\right),C\left(2;3;5\right),B^{\prime }\left(2;4;-1\right),D^{\prime }\left(0;2;1\right).$ Tọa độ điểm $$B$$ là

Để khuyến khích các em học sinh tích cực học tập, cô giáo quyết định thưởng cho mỗi học sinh xếp loại thi đua tốt 2 vở và 3 bút, mỗi học sinh xếp loại thi đua khá 1 vở và 1 bút. Biết tổng số tiền mua vở là $$700000$$ đồng, số tiền mua bút là $$200000$$ đồng. Biết giá vở là $$10000$$ đồng/quyển, bút là $$2500$$ đồng/chiếc. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh?

Cho phương trình $\cos 5x=3m-5.$ Gọi đoạn $$\left[a;b\right]$$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm. Giá trị $3a+b$ bằng

Một người có 10 triệu đồng gửi vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng (1 quý là 3 tháng), Iãi suất 6 quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 3 tháng, người đó lại gửi thêm 20 triệu đồng với hình thức và lãi suất như vậy. Hỏi sau 1 năm, tính từ lần gửi đầu tiên, người đó nhận được số tiền gần kết quả nào nhất?

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ thỏa mãn $\left(1+x^2\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)-1=3x^4+4x^2,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left(1\right)=0.$ Biết $$F\left(x\right)$$ là một nguyên hàm của hàm số $21\cdot f\left(x^2\right)$ và $F(0)=10$, hãy tính $F\left(2\right).$

Đường thẳng $a$ đi qua $M\left(4;-2;1\right)$, song song với mặt phẳng $(\alpha ):3x-4y+z-12=0$ và cách $A\left(-2;5;0\right)$ một khoảng lớn nhất. Khi đó, phương trình đường thẳng  là

Cho $$\left(x;y\right)$$ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=a\\ x^2+y^2=6-a^2\end{array}$. Giá trị của $a$ để biểu thức $F=xy+2\left(x+y\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất là

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(0\right)=2\sqrt{2},f\left(x\right)>0$ và $f\left(x\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)=\left(2x+1\right)\sqrt{1+f^2\left(x\right)},\forall x\in \mathbb{R}.$ Giá trị $$f\left(2\right)$$ là

Đường thẳng $12x+5y=60$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tổng độ dài các đường cao của tam giác đó là

Cho hình chóp $$S.ABC$$ có đáy là tam giác vuông tại $A,AB=a,AC=2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a.$ Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $$SG$$ và $$BC$$ bằng

Cho $x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $e^{-2x}f\left(x\right)$ trên $\mathbb{R}.$ Họ tất cả các nguyên hàm của $e^{-2x}{f}^{\prime }\left(x\right)$ là

Cho số phức $z=m-2+\left(m^2-1\right)i$ với $m\in \mathbb{R}.$ Gọi $(C)$ là tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành bằng

Một trang trại cần xây dựng một bể chứa nước hình hộp chữ nhật bằng gạch không nắp ở phía trên. Biết bể có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và thể tích (phần chứa nước) băng $8{\mathrm{m}}^3.$ Hỏi chiều cao của bế gần nhất với kết quả nào dưới đây để số lượng gạch dùng đế xây bể là nhỏ nhất?

Cho $f\left(x\right)$ là đa thức thỏa mãn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=10.$ Tính $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}-5}{x^2+x-6}$.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left|x^2+ax+b\right|$, với $$a,b$$ là tham số. Với $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[-1;3\right].$ Khi $M$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể được thì $a+2b$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $$Oxyz,$$ cho điểm $I\left(2;3;-1\right)$ và đường thẳng $d:\frac{x+7}{2}=\frac{y+9}{1}=\frac{z+7}{-2}.$ Phương trình mặt cầu tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $$A,B$$ thoả mãn $AB=40$ là

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left|z-3-4i\right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $P={\left|z+2\right|}^2-{\left|z-i\right|}^2$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left|z+i\right|$?