Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 3)

Cho hình chóp $$S.ABC$$ có đáy $$ABC$$ là tam giác đều cạnh $a,SA=a$ và $$SA$$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ bằng

Trong không gian $$Oxyz,$$ vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và trọng tâm của tam giác $$ABC$$ với $$A\left(0;2;1\right),B\left(4;-2;1\right),C\left(2;3;4\right)$$?

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime }BC\right)$ bằng $\frac{a}{2}$. Thể tích của khối lăng trụ bằng

Trong không gian $$Oxyz,$$ cho hai điểm $A\left(-2;4;1\right),B\left(2;0;3\right)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=-2+t\end{array}.$ Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua $$A,B$$ và có tâm thuộc đường thẳng $$d.$$ Bán kính mặt cầu $(S)$ bằng

Cho phương trình $x^2-2mx+m^2-1=0.$ Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình có hai nghiệm âm phân biệt?

Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài $$100m.$$ Sau mỗi lần rơi xuống, người chơi được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 80% so với lần rơi trước và lại rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên là

Xét hai số thực dương a, b với $a\ne 1$, thoả mãn ${\log }_{a^2}b+{\log }_a{b}^2=2.$ Khi đó ${\log }_{a}b$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn các điều kiện $f^{\prime }\left(x\right)=a{x}^2+\frac{b}{x^3},f^{\prime }(1)=3,f\left(1\right)=2$ và $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{12}.$ Khi đó, giá trị của $2a+b$ bằng

Hằng ngày mực nước con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm $t$ (giờ) trong một ngày bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)+12.$ Mực nước của kênh cao nhất khi $t=t_0.$ Tính $P=t_0^2+t_0.$

Cho $$M$$ là tập hợp các số phức $z$ thỏa mãn $\left|2z-i\right|=\left|2+iz\right|.$ Gọi $z_1,z_2$ là hai số phức thuộc tập hợp $$M$$ sao cho $\left|z_1-z_2\right|=1.$ Tính giá trị của biểu thức $P=\left|z_1+z_2\right|.$

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng $4\sqrt{5}$ m. Trên đó người ta thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng $$4m,$$ phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí đế trồng cỏ Nhật Bản là $$100000$$ đồng/m². Hỏi cần bao nhiêu tiền đế trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng $4\pi$, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung $120^{\circ }.$ Diện tích thiết diện $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là

Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=x^3+\left(3m-1\right)x^2+m^{2}x-3$ đạt cực tiểu tại $x=-1$?

Cho hình chóp $$S.ABCD$$ có đáy $$ABCD$$ là hình chữ nhật, $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Mặt bên $$SAB$$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cosin của góc giữa đường thẳng $$SD$$ và mặt phẳng $\left(SBC\right)$ bằng

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $d_1:2x+y-3=0$ và $d_2:x-2y+1=0$ đồng thời tạo với đường thẳng $d_3:y-1=0$ một góc bằng $45^{\circ }$ là

Cho vật thể $\left(T\right)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0;x=2.$ Cắt vật thể $\left(T\right)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $$Ox$$ tại $x\left(0\le x\le 2\right)$ ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\left(x+1\right)e^x.$ Thể tích của vật thể $\left(T\right)$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $$\left[0;+\infty \right)$$ và thỏa mãn $f\left(x\right)=\sqrt{x}+{\int }_0^{1}x\cdot f\left(x^4\right)\mathrm{d}x.$ Giá trị của tích phân $I=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left(t\right)=s\left(0\right)\cdot 2^t,$trong đó $s(0)$ là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, $s\left(t\right)$ là số lượng vi khuẩn A có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $\mathrm{A}$ là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu thì số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2\left(x-2\right)$ với $\forall x\in \mathbb{R}.$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{1}{3}{x}^3-x-2$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$ bằng

Có 3 chiếc hộp A, B, C. Hộp A chứa 4 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu trắng. Hộp B chứa 3 viên bi màu đỏ, 2 viên bi màu vàng. Hộp C chứa 2 viên bi màu đỏ, 2 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp đó. Xác suất để lấy được một viên bi màu đỏ là