Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 22)

Đáp án

Phương pháp giải

- Giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.

- Biến đổi phương trình.

- Số thuần ảo là số có phần thực bằng 0 .

Lời giải

Giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.

Vì $\left(\bar{z}+2i\right)\left(z-2\right)=\left[x+\left(2-y\right)i\right]\left[\left(x-2\right)+yi\right]=$ $\left[x\left(x-2\right)-y\left(2-y\right)\left]+\right[xy+\left(x-2\right)\left(2-y\right)\right]i$ là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó $x\left(x-2\right)-y\left(2-y\right)=0\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ là một đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{2}$.

Đáp án

Phương pháp giải

- Gọi $H$ là chân đường cao $AH$ của tam giác $ABC$

- Khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $AO$ ta được hình nón có thể tích là: $V_N$, có đáy là đường tròn đường kính $BC$

Lời giải

ABC có đường tròn nội tiếp $\left(O;r\right)$, cắt bỏ phần hình tròn và cho hình phẳng thu được quay quanh $AO$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? ĐÚNG SAI Thể tích khối tròn xoay thu được là $\pi r^3$.   Thể tích khối tròn xoay thu được bằng thể tích khối cầu có cùng bán kính với phần bị cắt bỏ.   (ảnh 1)">

Gọi $H$ là chân đường cao $AH$ của tam giác $ABC$

Vì tam giác $ABC$ đều nên ta có: $AH=3OH=3r$, $AH=BC\frac{\sqrt{3}}{2}\iff BC=\frac{2}{\sqrt{3}}AH=.r2\sqrt{3}$

Khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $AO$ ta được hình nón có thể tích là: $V_N$, có đáy là đường tròn đường kính $BC$ khi đó: $S_N=\pi H{C}^2=\pi r^{2}3$, chiều cao của hình nón là: $AH=3r$, khi đó thể tích hình nón là: $V_N=\frac{1}{3}AH.S_N=\frac{1}{3}3r.\pi r^{2}3=3\pi r^3$ (đvtt)

Thể tích khối cầu khi quay hình tròn $\left(O;r\right)$ quanh trục $AO$ là: $V_C=\frac{4}{3}\pi r^3$

Vậy thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay tam giác $ABC$ đã cắt bỏ phần hình tròn quanh trục $AO$ là: $V=V_N-V_C=3\pi r^3-\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{5}{3}\pi r^3$

Đáp án

Phương pháp giải

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $K$ ($K$ có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1,x_2\in K:x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

- Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1,x_2\in K:x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Lời giải

+) Với $x_1;x_2\in \left(a;b\right)$ thỏa mãn $x_1<x_2<0$ thì $x_1;x_2\in \left(a;0\right)$

Mà hàm số nghịch biến trên $\left(a;0\right)$ nên $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

=> Mệnh đề 1 sai

+) Hàm số nghịch biến trên $\left(a;0\right)$ nên với $x_0\in \left(a;0\right)$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)<0$

=> Mệnh đề 2 đúng

+) Quan sát đồ thị ta thấy khi $x\in \left[a;b\right]$ thì $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Khi đó với $x_0\in \left(0;b\right)$ thì $f\left(x_0\right)<f\left(a\right)$

=> Mệnh đề 3 đúng

Đáp án:

Giá trị của $f\left(0\right)+f\left(1\right)+\dots +f\left(2023\right)$ bằng 44

Giá trị của $f^{\prime }\left(0\right)+f^{\prime }\left(1\right)+\dots +f^{\prime }\left(2023\right)$ bằng -22/45 

(Phân số điền dưới dạng phân số tối giản a/b)

Phương pháp giải

Biến đổi $f\left(x\right)$ bằng cách nhân liên hợp.

Tа сó:

$\begin{array}{l}f(x)=\frac{2}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\\ =\sqrt{x+2}+\sqrt{x}-(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\\ =\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\end{array}$

$\begin{array}{l}f(0)+f(1)+\dots +f(2023)\\ =\sqrt{0+2}-\sqrt{0+1}+\sqrt{1+2}-\sqrt{1+1}+\dots +\sqrt{2022+2}-\sqrt{2022+1}+\sqrt{2023+2}-\sqrt{2023+1}\\ =\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\dots +\sqrt{2024}-\sqrt{2023}+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\\ =\sqrt{2025}-1=44\end{array}$

Giá trị của $f\left(0\right)+f\left(1\right)+\dots +f\left(2023\right)$ bằng: 44

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

$=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)$

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(0)+f^{\prime }(1)+\dots +f^{\prime }(2023)\\ =\frac{1}{2}.\left(-\frac{1}{\sqrt{0+1}}+\frac{1}{\sqrt{0+2}}+\dots -\frac{1}{\sqrt{2023+1}}+\frac{1}{\sqrt{2023+2}}\right)\\ =\frac{1}{2}.\left(-1+\frac{1}{\sqrt{2023+2}}\right)=\frac{1}{2}.\left(-1+\frac{1}{45}\right)\\ =-\frac{22}{45}\end{array}$

Giá trị của $f^{\prime }\left(0\right)+f^{\prime }\left(1\right)+\dots +f^{\prime }\left(2023\right)$ bằng: -22/45

Đáp án

Diện tích của phần tô màu vàng là: $$\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$$.

Diện tích của phần tô màu đỏ là: $\underset{c}{\overset{d}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa.

Lời giải

Diện tích của phần tô màu vàng là: $$\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$$.

Diện tích của phần tô màu đỏ là: $\underset{c}{\overset{d}{\int }}g\left(x\right)dx$.