Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 6)

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, biết $f(4)=5$ và $f^{\prime }(4)=2$. Giới hạn $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f^2(x)+f(x)-30}{\sqrt{x}-2}$ bằng (1) __ 88 __.

Giải thích

Ta có: $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f^2(x)+f(x)-30}{\sqrt{x}-2}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{(f(x)-5)(f(x)+6)}{\sqrt{x}-2}$

$=\underset{x\to 4}{\lim }\left[\frac{f(x)-f(4)}{x-4}.(\sqrt{x}+2).(f(x)+6)\right]=f^{\prime }(4).(\sqrt{4}+2).(f(4)+6)=88$ (vì

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)$$

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là $P(x)=\frac{95x^2+120x}{4}$, với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần (1) __ 36 __ giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất.

Giải thích

 Gọi $t$ là số giờ làm tăng thêm mỗi tuần, $t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow$ số công nhân bỏ việc là $\frac{t}{2}$ nên số công nhân làm việc là $100-\frac{t}{2}$ người.

Năng suất của công nhân còn $120-\frac{5t}{2}$ sản phẩm một giờ.

Số thời gian làm việc một tuần là $40+t$ giờ.

Để nhà máy hoạt động được thì $\{\begin{array}{l}40+t>0\\ 120-\frac{5t}{2}>0\Rightarrow t\in (-40;48).\\ 100-\frac{t}{2}>0\end{array}$

Số sản phẩm trong một tuần làm được: $S=\left(100-\frac{t}{2}\right)\left(120-\frac{5t}{2}\right)(40+t)$.

Số sản phẩm thu được là

$f(t)=\left(100-\frac{t}{2}\right)\left(120-\frac{5t}{2}\right)(40+t)-\frac{95{(40+t)}^2+120(40+t)}{4}=\frac{5}{4}{t}^3-\frac{1135}{4}{t}^2-2330t+440800.$

$\Rightarrow f^{\prime }(t)==\frac{15}{4}{t}^2-\frac{1135}{2}t-2330.$

$f^{\prime }(t)=0\iff [\begin{array}{c}t=-4\\ t=\frac{466}{3}(\mathrm{L})\end{array}$

Ta có BBT như sau

Vậy số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần lớn nhất khi x = 36.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;0;0),B(2;0;1),C(1;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-6=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng $(P)$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: 

Bán kính mặt cầu (S) bằng $\sqrt{41}$.

Tâm mặt cầu (S) có tung độ bằng 4; cao độ bằng -3.

Giải thích

Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu $(S)$ đi qua 3 điểm A, B, C.

Ta có: $IA=IB=IC\iff \{\begin{array}{l}I{A}^2=I{B}^2\\ I{B}^2=I{C}^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{(x-1)}^2+y^2+z^2={(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2\\ {(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2={(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}-2x+1=-4x+4-2z+1\\ -4x+4=-2x+1-2y+1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+z=2\\ x-y=1\end{array}$

Vì $I\in (P)$ nên ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{r}x+z=2\\ x-y=1\\ x+y+z-6=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=5\\ y=4\\ z=-3\end{array}\Rightarrow I(5;4;-3)$

Bán kính của mặt cầu $(S)$ là $R=IA=\sqrt{41}$

$\Rightarrow (S):(x-5{)}^2+(y-4{)}^2+(z+3{)}^2=41.$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và ba điểm $A(-1;2;-3),B(5;2;3),C(1;2;3)$. Gọi $S$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $(S)$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là (1) __ 12 __ .

Giải thích

Mặt cầu (S) có tâm $I(3;1;1)$ và bán kính $R=2$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $y-2=0$.

Ta có thể tích S.ABC đạt giá trị lớn nhất khi $d(S;(ABC))$ đạt giá trị lớn nhất.

$\mathrm{M}\grave{\mathrm{a}}d(I;(ABC))=1<R=2$

$\Rightarrow d(S;(ABC){)}_{\max }=R+d(I;(ABC))=3.$

$V_{S.AB{C}_{\max }}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.d(S;(ABC){)}_{\max }=\frac{1}{3}.12.3=12$.

Giải thích

Giả sử hình nón ngợi tiếp tứ diện đều ABCD cạnh $a$ như hình vẽ trên. Ta có:

+) Bán kính đáy $R=OC=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

+) Độ dài đường sinh $l=AC=a$.

+) Chiều cao của khối chóp là $h=AO=\sqrt{{A{B}^2-\frac{BC\sqrt{3}}{3})}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy:

+) Diện tích xung quanh hình nón là: $S_{xq}=\pi Rl=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}a=\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{3}$.

+) Thể tích của khối nón là: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{a^3\sqrt{6}}{27}$

Giải thích

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff$$\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\\ x=3.\end{array}$.

Bảng xét dấu của hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$:

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị: x = −2 là điểm cực đại và x = 3 là điểm cực tiểu.

Giải thích

Điều kiện $1-ab>0\iff ab<1$.

Ta có ${\log }_2\frac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3\iff {\log }_2\left(1-ab\right)-{\log }_2\left(a+b\right)=\left(a+b\right)-2\left(1-ab\right)-1$

$$\iff {\log }_2\left(1-ab\right)+1+2\left(1-ab\right)={\log }_2\left(a+b\right)+\left(a+b\right)$$

$\iff {\log }_{2}2\left(1-ab\right)+2\left(1-ab\right)={\log }_2\left(a+b\right)+\left(a+b\right).\left(1\right)$.

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$ với $t>0$ có $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Ta có (1)$\iff f2\left(1-ab\right)=f\left(a+b\right)\iff 2\left(1-ab\right)=a+b\iff 2-a=b\left(2a+1\right)\iff b=\frac{2-a}{2a+1}$.

Do $a,b>0\Rightarrow \frac{2-a}{2a+1}>0\iff 0<a<2$.

Khi đó $P=a+b=a+\frac{2-a}{2a+1}=\frac{2a^2+2}{2a+1}$

Xét hàm $g\left(a\right)=\frac{2a^2+2}{2a+1}\Rightarrow g^{\prime }\left(a\right)=\frac{4a^2+4a-4}{2a+1{)}^2}\Rightarrow g^{\prime }\left(a\right)=0\iff a=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}.$

Bảng biến thiên

Vậy $$P_{min}=-1+\sqrt{5}$$.