Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều – Đề 4 (có đáp án)

a) Tỉ số phần trăm số học sinh bị còi xương và học sinh béo phì là:

$10\%+22,5\%=32,5\%$.

b) Số học sinh bị còi xương chiếm $10\%$ tổng số học sinh cả lớp, do đó có $40.10\%=4$ học sinh bị còi xương.

Số học sinh béo phì chiếm $22,5\%$ tổng số học sinh cả lớp, do đó có $40.22,5\%=9$ học sinh béo phì.

c) Tổng số học sinh bị còi xương và học sinh béo phì là: $4+9=13$ (học sinh).

Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong tổng số 13 học sinh nên mỗi học sinh đều có khả năng được chọn như nhau.

Trong 13 học sinh, có 4 học sinh bị còi xương nên xác suất để chọn được bạn học sinh bị còi xương là $\frac{4}{13}$.

a) $A\left(x\right)=\frac{3}{4}{x}^3-1+\frac{3}{5}x+4x^2+\frac{5}{4}{x}^3-\frac{8}{5}x+4+7x^2$

$=\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\right)x^3+\left(4+7\right)x^2+\left(\frac{3}{5}-\frac{8}{5}\right)x-1+4$

$=2x^3+11x^2-x+3$.

b) Bậc của đa thức $A\left(x\right)$ là 3.

Hệ số cao nhất của đa thức $A\left(x\right)$ là 2.

c) $B\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left(2x+11\right)-5x-8$

$=2x^3+11x^2+2x+11-5x-8$

$=2x^3+11x^2-3x+3$

Ta có $B\left(x\right)-C\left(x\right)=A\left(x\right)$.

Suy ra $C\left(x\right)=B\left(x\right)-A\left(x\right)$

$=2x^3+11x^2-3x+3-\left(2x^3+11x^2-x+3\right)$

$=2x^3+11x^2-3x+3-2x^3-11x^2+x-3$

$=-2x$.

d) Để tìm nghiệm của đa thức $C\left(x\right)$, ta cho $C\left(x\right)=0$

Do đó $-2x=0$

Suy ra $x=0$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left(x\right)$ là $x=0$.

a) Xét $\Delta ACE$ và $\Delta KCE$ có:

$\widehat{CAE}=\widehat{CKE}=90^{\circ }$;

$EC$ là cạnh chung;

$\widehat{ACE}=\widehat{KCE}$ (do $CE$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$).

Do đó $\Delta ACE=\Delta KCE$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $EA=EK$ và $CA=CK$ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó $CE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$ nên $CE\perp AK$.

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ }$

Suy ra $$\widehat{ABC}=90^{\circ }-\widehat{ACB}=30^{\circ }$$.

Lại có $CE$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACE}=\widehat{KCE}=30^{\circ }$.

$\Delta BCE$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ECB}=30^{\circ }$ nên là tam giác cân tại $E$.

$\Delta BCE$ cân tại $E$ có $EK$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay $K$ là trung điểm của $BC$.

Do đó $BK=KC$ và $BC=2KC$

Mà $AC=KC$ (câu a) nên $BC=2AC$.

Xét $\Delta BKE$ vuông tại $K$ có $BE$ là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác

Do đó $BE>BK$ mà $BK=KC=AC$ nên $BE>AC$.

c) Giả sử hai đường thẳng $BD$ và $AC$ cắt nhau tại $I$.

Xét $\Delta IBC$ có hai đường cao $BA,CD$ cắt nhau tại $E$ nên $E$ là trực tâm của tam giác.

Suy ra $IE\perp BC$.

Mà $EK\perp BC$ nên ba điểm $I,E,K$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $AC,EK,BD$ đồng quy.

Do $A\left(x\right)$ nhận $-1$ làm nghiệm nên ta có $A\left(-1\right)=0$

Do đó $a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c=0$, suy ra $a-b+c=0\left(1\right)$

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left(x\right)$ cho đa thức $x-1$ như sau:

Để $A\left(x\right)$ chia hết cho đa thức $x-1$ thì $c+b+a=0\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có $a-b+c=c+b+a$

Suy ra $2b=0$, nên $b=0$.

Thay $b=0$ vào $\left(1\right)$ ta được $a+c=0$, do đó $a=-c$.

Vậy $a$ và $c$ là hai số đối nhau.

Lưu ý: Với dữ kiện $A\left(x\right)$ chia hết cho đa thức $x-1$ ta có thể suy ra điều kiện $\left(2\right)$ theo cách sau:

$A\left(x\right)$ chia hết cho đa thức $x-1$ nên ta có:

$A\left(x\right)=\left(x-1\right).Q\left(x\right)$ với $Q\left(x\right)$ là thương của phép chia đa thức $A\left(x\right)$ cho đa thức $x-1$.

Khi đó $A\left(1\right)=\left(1-1\right).Q\left(1\right)=0$ hay $A\left(1\right)=0$.

Suy ra $a+b+c=0$ $\left(2\right)$.