Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức – Đề 10 (có đáp án)

a) $\frac{3x-7}{8}=\frac{5}{2}$

$2.\left(3x-7\right)=8.5$

$6x-14=40$

$6x=54$

$x=9$

Vậy $x=9$.

b) $\left(4x^4-3x^3+x^2\right):\left(-x^2\right)+4{\left(x-1\right)}^2=0$

$\left(4x^4\right):\left(-x^2\right)-\left(3x^3\right):\left(-x^2\right)+\left(x^2\right):\left(-x^2\right)+4\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0$

$-4x^2+3x-1+4\left(x^2-x-x+1\right)=0$

$-4x^2+3x-1+4x^2-8x+4=0$

$-5x+3=0$

$x=\frac{3}{5}$

Vậy $x=\frac{3}{5}$.

a) $M\left(x\right)=2x^4-3x^3-x+7x^3-5x+1$

$$=2x^4+\left(-3x^3+7x^3\right)+\left(-x-5x\right)+1$$

$$=2x^4+4x^3-6x+1$$.

$N\left(x\right)=-2x^3+x^2+3x^4+5x-2x^4-6+x$

$=\left(3x^4-2x^4\right)-2x^3+x^2+\left(5x+x\right)-6$

$=x^4-2x^3+x^2+6x-6$

b) Đa thức $N\left(x\right)$ có bậc là 4, hệ số cao nhất là 1.

c) Ta có $Q\left(x\right)=M\left(x\right)+N\left(x\right)$

$Q\left(x\right)=\left(2x^4+4x^3-6x+1\right)+\left(x^4-2x^3+x^2+6x-6\right)$

$=2x^4+4x^3-6x+1+x^4-2x^3+x^2+6x-6$

$=3x^4+2x^3+x^2-5$.

Ta có $Q\left(x\right)=3x^4+2x^3+4$

Suy ra $3x^4+2x^3+x^2-5=3x^4+2x^3+4$

$x^2=9$

$x=3$ hoặc $x=-3$.

Vậy $x\in \left\{-3;3\right\}$ thì $Q\left(x\right)=3x^4+2x^3+4$.

Gọi $$x,y\left(\mathrm{km}\right)$$ lần lượt là quãng đường xe ô tô và xe máy đi được.

Vì hai xe đi ngược chiều trên đoạn đường $AB$ dài $275\mathrm{km}$ để gặp nhau nên $x+y=275$

Do hai xe di chuyển trong cùng một khoảng thời gian nên vận tốc và quãng đường đi được của mỗi xe là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Do đó ta có: $\frac{x}{60}=\frac{y}{50}$ hay $\frac{x}{6}=\frac{y}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{6}=\frac{y}{5}=\frac{x+y}{6+5}=\frac{275}{11}=25$

Suy ra $x=25.6=150$; $y=25.5=125$.

Vậy đến khi gặp nhau thì xe ô tô và xe máy đi được lần lượt là $150\mathrm{km}$ và $125\mathrm{km}$.

a) Xét $\Delta ACE$ và $\Delta KCE$ có:

$\widehat{CAE}=\widehat{CKE}=90^{\circ }$;

$EC$ là cạnh chung;

$\widehat{ACE}=\widehat{KCE}$ (do $CE$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$).

Do đó $\Delta ACE=\Delta KCE$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $EA=EK$ và $CA=CK$ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó $CE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$ nên $CE\perp AK$.

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ }$

Suy ra $$\widehat{ABC}=90^{\circ }-\widehat{ACB}=30^{\circ }$$.

Lại có $CE$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACE}=\widehat{KCE}=30^{\circ }$.

$\Delta BCE$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ECB}=30^{\circ }$ nên là tam giác cân tại $E$.

$\Delta BCE$ cân tại $E$ có $EK$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay $K$ là trung điểm của $BC$.

Do đó $BK=KC$ và $BC=2KC$

Mà $AC=KC$ (câu a) nên $BC=2AC$.

Xét $\Delta BKE$ vuông tại $K$ có $BE$ là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác

Do đó $BE>BK$ mà $BK=KC=AC$ nên $BE>AC$.

c) Giả sử hai đường thẳng $BD$ và $AC$ cắt nhau tại $I$.

Xét $\Delta IBC$ có hai đường cao $BA,CD$ cắt nhau tại $E$ nên $E$ là trực tâm của tam giác.

Suy ra $IE\perp BC$.

Mà $EK\perp BC$ nên ba điểm $I,E,K$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $AC,EK,BD$ đồng quy.

Cách 1:

• $A\left(x\right)$ chia cho đa thức $x+1$ thì dư 7 nên ta có:

$A\left(x\right)=\left(x+1\right).Q\left(x\right)+7$, trong đó $Q\left(x\right)$ là thương của phép chia $A\left(x\right)$ chia cho $x+1$.

Khi đó ta có $A\left(-1\right)=\left(-1+1\right).Q\left(-1\right)+7$ hay $A\left(-1\right)=7$.

Do đó $${\left(-1\right)}^3+a.\left(-1\right)+b=7$$, suy ra $-a+b=8\left(1\right)$

• Tương tự, $A\left(x\right)$ chia cho đa thức $x-3$ thì dư $-5$ nên ta có: $A\left(3\right)=-5$

Do đó $3^3+a.3+b=-5$, suy ra $3a+b=-32\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ ta có $b=a+8$ thay vào $\left(2\right)$ ta được: $3a+\left(a+8\right)=-32$

Suy ra $4a=-40$, nên $a=-10$.

Khi đó $b=-10+8=-2$.

Vậy $a=-10$, $b=-2$.

Cách 2: Thực hiện đặt tính chia đa thức:

• Thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left(x\right)$ cho $x+1$ như sau:

Để $A\left(x\right)$ chia cho đa thức $x+1$ dư 7 thì $b-a-1=7$, hay $-a+b=8\left(1\right)$

• Thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left(x\right)$ chia cho $x-3$ ta cũng được: $3a+b=-32\left(2\right)$

Giải tương tự như Cách 1 ta có $a=-10$, $b=-2$.

Vậy $a=-10$, $b=-2$.