Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo – Đề 3 (có đáp án)

a) $$\frac{x-1}{3}=\frac{1}{2}$$

$2.\left(x-1\right)=3.1$

$2x-2=3$

$x=\frac{5}{2}$

Vậy $x=\frac{5}{2}$.

b) $\left(2x+3\right)\left(x+2\right)=\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$

$2x^2+4x+3x+6=2x^2+x-8x-4$

$14x=-10$

$x=-\frac{5}{7}$

Vậy $x=-\frac{5}{7}$.

a) $$A\left(x\right)=x^3-3x^2-x-4+4x^2-x$$

$=x^3+\left(-3x^2+4x^2\right)+\left(-x-x\right)-4$

$=x^3+x^2-2x-4$.

$$B\left(x\right)=x^4+2x^2-5x-x^2+6+x^3-x^4$$

$=\left(x^4-x^4\right)+x^3+\left(2x^2-x^2\right)-5x+6$

$=x^3+x^2-5x+6$.

b) Bậc của đa thức $B\left(x\right)$ là 3, hệ số cao nhất là 1.

c) $M\left(x\right)=A\left(x\right)-B\left(x\right)$

$M\left(x\right)=\left(x^3+x^2-2x-4\right)-\left(x^3+x^2-5x+6\right)$

$=x^3+x^2-2x-4-x^3-x^2+5x-6$

$=\left(x^3-x^3\right)+\left(x^2-x^2\right)+\left(-2x+5x\right)+\left(-4-6\right)$

$=3x-10$

Ta có $M\left(x\right)=0$ tức là $3x-10=0$, suy ra $x=\frac{10}{3}$.

Vậy đa thức $M\left(x\right)$ có nghiệm là $x=\frac{10}{3}$.

Gọi $x$ (lít) là thể tích của $20,5\mathrm{kg}$ xăng

Vì khối lượng và thể tích của xăng là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

$\frac{16}{x}=\frac{12}{20,5}$, suy ra $x=\frac{16.20,5}{12}=27,333$.

Ta có $27,333:5=5,466$ nên phải dùng tối thiểu $6$ can loại $5$ lít.

a) Biến cố $M$ là biến cố chắc chắn, vì hai số nhỏ nhất ghi trên mỗi quả bóng lấy từ hộp $A$ và hộp $B$ lần lượt là 1 và 2 nên tổng các số ghi trên hai quả bóng nhỏ nhất là 3, chắc chắn lớn hơn 2.

Biến cố $P$ là biến cố không thể, vì chênh lệch lớn nhất giữa hai số lấy được trên mỗi quả bóng từ một hộp là 9, khi hộp $A$ lấy được số 1 và hộp $B$ lấy được số 10.

b) Trong 5 quả bóng ở hộp $A$ ghi các số $1;3;5;7;9$, có 3 số nguyên tố là $3;5;7$.

Xác suất của biến cố ngẫu nhiên $$Q$$ là: $\frac{3}{5}$.

a) Xét $\Delta ACE$ và $\Delta KCE$ có:

$\widehat{CAE}=\widehat{CKE}=90^{\circ }$;

$EC$ là cạnh chung;

$\widehat{ACE}=\widehat{KCE}$ (do $CE$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$).

Do đó $\Delta ACE=\Delta KCE$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $EA=EK$ và $CA=CK$ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó $CE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$ nên $CE\perp AK$.

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ }$

Suy ra $$\widehat{ABC}=90^{\circ }-\widehat{ACB}=30^{\circ }$$.

Lại có $CE$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACE}=\widehat{KCE}=30^{\circ }$.

$\Delta BCE$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ECB}=30^{\circ }$ nên là tam giác cân tại $E$.

$\Delta BCE$ cân tại $E$ có $EK$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay $K$ là trung điểm của $BC$.

Do đó $BK=KC$ và $BC=2KC$

Mà $AC=KC$ (câu a) nên $BC=2AC$.

Xét $\Delta BKE$ vuông tại $K$ có $BE$ là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác

Do đó $BE>BK$ mà $BK=KC=AC$ nên $BE>AC$.

c) Giả sử hai đường thẳng $BD$ và $AC$ cắt nhau tại $I$.

Xét $\Delta IBC$ có hai đường cao $BA,CD$ cắt nhau tại $E$ nên $E$ là trực tâm của tam giác.

Suy ra $IE\perp BC$.

Mà $EK\perp BC$ nên ba điểm $I,E,K$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $AC,EK,BD$ đồng quy.

Do $A\left(x\right)$ nhận $-1$ làm nghiệm nên ta có $A\left(-1\right)=0$

Do đó $a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c=0$, suy ra $a-b+c=0\left(1\right)$

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left(x\right)$ cho đa thức $x-1$ như sau:

Để $A\left(x\right)$ chia hết cho đa thức $x-1$ thì $c+b+a=0\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có $a-b+c=c+b+a$

Suy ra $2b=0$, nên $b=0$.

Thay $b=0$ vào $\left(1\right)$ ta được $a+c=0$, do đó $a=-c$.

Vậy $a$ và $c$ là hai số đối nhau.

Lưu ý: Với dữ kiện $A\left(x\right)$ chia hết cho đa thức $x-1$ ta có thể suy ra điều kiện $\left(2\right)$ theo cách sau:

$A\left(x\right)$ chia hết cho đa thức $x-1$ nên ta có:

$A\left(x\right)=\left(x-1\right).Q\left(x\right)$ với $Q\left(x\right)$ là thương của phép chia đa thức $A\left(x\right)$ cho đa thức $x-1$.

Khi đó $A\left(1\right)=\left(1-1\right).Q\left(1\right)=0$ hay $A\left(1\right)=0$.

Suy ra $a+b+c=0$ $\left(2\right)$.