Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Cánh diều (2022-2023) – Đề 1 (có đáp án)

Các số tự nhiên có hai chữ số là: $10;11;12;13;...;98;99$, có tất cả $\frac{99-10}{1}+1=90$ số.

a) Biến cố A: Số được xóa đi chia hết cho 10:

Trong 90 số trên, có 9 số chia hết cho 10 là: $10;20;30;40;50;60;70;80;90$.

Do đó có 9 kết quả làm cho biến cố A xảy ra.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$.

b) Biến cố B: Số được xóa đi là số có thể viết được thành bình phương của một số tự nhiên.

Trong 90 số trên, có 6 số viết được thành bình phương của một số tự nhiên là:

$16;25;36;49;64;81$.

Do đó có 6 kết quả làm cho biến cố B xảy ra.

Xác suất của biến cố B là: $\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$.

c) Biến cố C: Số được xóa đi có 2 chữ số giống nhau nhưng không chia hết cho 2.

Trong 90 số trên, có 5 số có 2 chữ số giống nhau nhưng không chia hết cho 2 là:

$11;33;55;77;99$.

Do đó có 5 kết quả làm cho biến cố C xảy ra.

Xác suất của biến cố C là: $\frac{5}{90}=\frac{1}{18}$.

a) Ta có:

$$\begin{array}{l}P\left(x\right)=3x^4+7x^2-x^3+2023+8x-6x^2+2x^3-3x^4-12x\\ =\left(3x^4-3x^4\right)+\left(-x^3+2x^3\right)+\left(7x^2-6x^2\right)+\left(8x-12x\right)+2023\\ =x^3+x^2-4x+2023.\end{array}$$

Do đó $P\left(x\right)$ có:

Bậc là $3$.

Hệ số bậc cao nhất là $1$.

Hệ số tự do là $2023$.

b) Thay $x=2$ vào $P\left(x\right)$ ta được $P\left(2\right)=2^3+2^2-4\cdot 2+2023=2027$.

c) Thay $x=-1$ vào $P\left(x\right)$ ta được $P\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)+2023=2017\ne 0$.

Do đó $x=-1$ không phải là nghiệm của đa thức $P\left(x\right)$.

d) Ta có:

$\begin{array}{l}M\left(x\right)=P\left(x\right)-x^3-x^2-2010\\ =x^3+x^2-4x+2023-x^3-x^2-2010\\ =-4x+13.\end{array}$

Cho $M\left(x\right)=0$ ta được $-4x+13=0$ hay $x=\frac{13}{4}$.

Vậy $x=\frac{13}{4}$ là nghiệm của đa thức $M\left(x\right)$.

a) $$A(x)+B(x)=(2x^3-5x^2+x+5)+(7x^3-2x+1)$$

$$=\left(2x^3+7x^3\right)-5x^2+\left(x-2x\right)+\left(5+1\right)$$

$$=9x^3-5x^2-x+6$$

b) $$A(x)-B(x)=(2x^3-5x^2+x+5)-(7x^3-2x+1)$$

$$=2x^3-5x^2+x+5-7x^3+2x-1$$

$$=\left(2x^3-7x^3\right)-5x^2+\left(x+2x\right)+\left(5-1\right)$$

$$=-5x^3-5x^2+3x+4$$.

a) Xét $\Delta ABC$ có : $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ }$(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ABC}=180^{\circ }-\widehat{BAC}-\widehat{ACB}=180^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.

Xét $\Delta ABD$ có $BA=BD\left(gt\right)\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết)

Mà $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ (cmt)

Suy ra $\Delta ABD$ là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta DBE$ có :

$\widehat{BAE}=\widehat{BDE}=90^{\circ }$

$BE$ : cạnh chung

$BA=BD\left(gt\right)$

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta DBE$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{DBE}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$.

c) Chứng minh $AD=\frac{1}{2}BC$.

Theo b ta có $BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên $$\widehat{ABE}=\widehat{DBE}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}.60^{\circ }=30^{\circ }$$

Lại có $\widehat{ACB}=30^{\circ }\left(gt\right)$ nên $\widehat{EBC}=\widehat{ECB}=30^{\circ }$.

Do đó $\Delta BCE$ cân tại $E$

$\Delta BCE$ cân tại $E$ có $ED$ là đường cao nên $ED$ đồng thời là đường trung tuyến

$\Rightarrow BD=DC=\frac{1}{2}BC$

Mà $\Delta ABD$ là tam giác đều (theo a) nên $AD=BD=\frac{1}{2}BC$. Do đó $AD=\frac{1}{2}BC$.

d) Xét $\Delta MBC$ có hai đường cao $CA$ và $BN$ cắt nhau tại $E$ nên $E$ là trực tâm của tam giác

Do đó $ME\perp BC$

Lại $ED\perp BC$ nên ba điểm $M,E,D$ thẳng hàng $\Rightarrow DE$ đi qua $M$

Mà $CN$ cắt $BA$ tại $M$ $\Rightarrow$ ba đường thẳng $BA,CN,DE$ cùng đi qua điểm $M$.

Đa thức $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có nghiệm là 1 và $-1$ khi:

$\{\begin{array}{l}a+b+c+d=0\\ a-b+c-d=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-c\\ b=-d\end{array}$

Vậy khi $a=-c$ và $b=-d$ thì đa thức $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai nghiệm là $\pm 1$.

• Khi đa thức $$f\left(x\right)$$ có 2 nghiệm là $\pm 1$ thì ta có:

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2-ax-b$

• Ta có $f\left(x\right)=0$

$\iff a{x}^3+b{x}^2-ax-b=0$

$\iff x^2\left(ax+b\right)-\left(ax+b\right)=0$

$\iff \left(ax+b\right)\left(x^2-1\right)=0$

$\iff \left(ax+b\right)\left[x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\right]=0$

$\iff \left(ax+b\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}ax+b=0\\ x-1=0\\ x+1=0\end{array}$

$$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{b}{a}\\ x=1\\ x=-1\end{array}$$

$\Rightarrow$ Ngoài nghiệm $x=\pm 1$ thì đa thức $$f\left(x\right)$$ còn nghiệm thứ 3 là $x=-\frac{b}{a}$.