Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Bình Hưng Hòa (TP.HCM) có đáp án

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Tọa độ đỉnh $x_I=-\frac{2}{2\cdot \left(-1\right)}=1\Rightarrow y_I=-1^2+2\cdot 1+2=3\Rightarrow I\left(1;3\right)$.

Trục đối xứng: Đường thẳng $x=1$.

Chiều biến thiên: Vì $a=-1<0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$: $\widehat{ABC}=90^{\circ }-\widehat{ACB}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.

Độ dài cạnh $BA$ là: $BA=BC\cdot \cos \widehat{ABC}=6a\cdot \cos 60^{\circ }=6a\cdot \frac{1}{2}=3a$.

Tích vô hướng $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ được tính theo công thức:

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$$=BA\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}$$=3a\cdot 6a\cdot \cos 60^{\circ }=18a^2\cdot \frac{1}{2}=9a^2$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ $O\equiv C$ nằm trên mặt đất (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét):

Trục $Ox$ trùng với đường mặt đất $AI$.

Trục $Oy$ đi qua đỉnh $D$ của parabol $\left(P_1\right)$.

Tọa độ các điểm liên quan trên mặt đất và đỉnh: $C\left(0;0\right),D\left(0;5,8\right)$.

Điểm $E$ cách $C$ một khoảng $4\mathrm{m}\Rightarrow E\left(4;0\right)$.

Điểm $G$ cách $E$ một khoảng $2\mathrm{m}\Rightarrow G\left(6;0\right)$.

Điểm $I$ cách $G$ một khoảng $2\mathrm{m}\Rightarrow I\left(8;0\right)$.

Điểm $A$ cách $C$ một khoảng $3\mathrm{m}\Rightarrow A\left(-3;0\right)$.

Điểm $B$ thuộc đường thẳng đứng đi qua $A$ và cách $A$ một khoảng $4\mathrm{m}\Rightarrow B\left(-3;4\right)$.

Vì $\left(P_1\right)$ có đỉnh $D\left(0;5,8\right)$ nằm trên $Oy$, nên phương trình có dạng $\left(P_1\right):y=a_1{x}^2+5,8\left(a_1<0\right)$.

Lại có $\left(P_1\right)$ đi qua $B$ nên $4=9a_1+5,8\Rightarrow a_1=-0,2$ (thỏa mãn).

Vậy $\left(P_1\right):y=-0,2x^2+5,8$.

Điểm $F$ thuộc đường thẳng thẳng đứng qua $E\left(4;0\right)$, nên $x_F=4$, suy ra $y_F=-0,2\cdot 4^2+5,8=2,6$.

Tọa độ điểm $F$ là $F\left(4;2,6\right)$.

Vì $\left(P_2\right)$ có đỉnh $H$ nằm trên đường thẳng thẳng đứng qua $G\left(6;0\right)$, nên $x_H=6$.

Phương trình $\left(P_2\right)$ có dạng $y=a_2{x}^2+bx+c\left(a_2>0\right)$.

Vì $x_H=6$ nên $-\frac{b}{2a_2}=6\Rightarrow b=-12a_2$.

Hai parabol nối nhau trơn tru tại $F\left(4;2,6\right)$ nên $F\in \left(P_2\right)$, suy ra $16a_2+4b+c=2,6$. Thay $b=-12a_2$ vào ta được $-32a_2+c=2,6$.

Điểm $K$ thuộc đường thẳng thẳng đứng qua $I\left(8;0\right)$, nên $x_K=8$ và $K\in \left(P_2\right)$, suy ra

$y_K=64a_2+8b+c=64a_2+8\cdot \left(-12a_2\right)+c=-32a_2+c=2,6$.

Vậy khoảng cách từ điểm $K$ đến mặt đất là $2,6\mathrm{m}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}$.