Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức – Đề 3 (có đáp án)

Ta mô phỏng bài toán như sau:

A, người (ảnh 2)">

Vì tam giác $AHB$ vuông tại $H$, theo định lí Pythagore ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2=5^2+25^2=650$

Suy ra $AB=5\sqrt{26}$.

Lại có: $\cos \widehat{HAB}=\frac{AH}{AB}=\frac{5}{5\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}$, suy ra $\widehat{HAB}\approx 79^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{HAC}=\widehat{HAB}+\widehat{BAC}=79^{\circ }+45^{\circ }=124^{\circ }$.

Tứ giác $AHBC$ có: $\hat{H}+\widehat{HAC}+\widehat{ACB}+\widehat{HBC}=360^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{ACB}=360^{\circ }-\left(\hat{H}+\widehat{HAC}+\widehat{HBC}\right)=360^{\circ }-\left(90^{\circ }+124^{\circ }+90^{\circ }\right)=56^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\frac{AB\sin \widehat{BAC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{5\sqrt{26}\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 56^{\circ }}\approx 21,75$.

Vậy chiều cao $BC$ của cây xấp xỉ 21,75 m.

ABC có \[BC = a,\,\, (ảnh 1)">

Vì M là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].

Suy ra $$AM={\overrightarrow{AM}}^2=\frac{1}{4}{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)}^2=\frac{1}{4}\left({\overrightarrow{AB}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2\right)$$

Lại có

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=c\cdot b.\cos A=bc\cdot \frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}\left(c^2+b^2-a^2\right)$$

Nên $$A{M}^2=\frac{1}{4}\left(c^2+2.\frac{1}{2}\left(c^2+b^2-a^2\right)+b^2\right)=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}$$.

Theo tính chất đường phân giác thì $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$$.

Suy ra $$\overrightarrow{BD}=\frac{BD}{DC}\overrightarrow{DC}=\frac{b}{c}\overrightarrow{DC}\left(\ast \right)$$

Mặt khác $$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$$ và $$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$$ thay vào (*) ta được

$$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac{b}{c}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\iff \left(b+c\right)\overrightarrow{AD}=b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}$$

$$\iff {\left(b+c\right)}^2{\overrightarrow{AD}}^2={\left(b\overrightarrow{AB}\right)}^2+2bc\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}+{\left(c\overrightarrow{AC}\right)}^2$$

$$\iff {\left(b+c\right)}^2{\overrightarrow{AD}}^2=b^2{c}^2+2bc.\frac{1}{2}\left(c^2+b^2-a^2\right)+c^2{b}^2$$

$$\iff {\overrightarrow{AD}}^2=\frac{bc}{{\left(b+c\right)}^2}\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)$$

Vậy $${\overrightarrow{AD}}^2=\frac{bc}{{\left(b+c\right)}^2}\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)$$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

20      20      22      25      25     30      33      38      40      90

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_2=\frac{25+30}{2}=27,5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 20   20     22      25          25.

Do đó, $Q_1=22$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 30       33      38      40          90.

Do đó, $Q_3=38$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=38-22=16$.

Ta có: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=22-1,5\cdot 16=-2$; $Q_3+1,5{\Delta }_Q=38+1,5\cdot 16=62$.

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 90 lớn hơn 62.

Vậy mẫu số liệu đã cho có giá trị bất thường là 90.