Đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều – Đề 6 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Số học sinh của lớp 10A2 là:

$21+24-15+11=41$ (học sinh).

Vậy lớp 10A2 có $41$ học sinh.

b) Tập $B$ có đúng $2$ tập con khi và chỉ khi tập $B$ có đúng $1$ phần tử, hay phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+3m+3=0\left(1\right)$ có duy nhất $1$ nghiệm thực. Do $B\subset A$ nên $1$ nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn $\left[1;8\right]$.

Xét phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+3m+3=0\left(1\right)$

TH1: Nếu $m=0$ thì $\left(1\right)\iff -2x+3=0\iff x=\frac{3}{2}\in \left[1;8\right]$.

Vì vậy $m=0$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu $m\ne 0$ thì để $\left(1\right)$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc $\left[1;8\right]$ nên ta có $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }={\left(m+1\right)}^2-m\left(3m+3\right)=-2m^2-m+1=0\\ \frac{m+1}{m}\in \left[1;8\right]\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ m=-1\end{array}\\ \frac{m+1}{m}\in \left[1;8\right]\end{array}$

Với $m=\frac{1}{2}$ ta có $\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3\in \left[1;8\right]$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với $m=1$ ta có $\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=1\notin \left[1;8\right]$ không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với $m=0$ và $m=\frac{1}{2}$ thì tập $B$ có đúng hai tập con đồng thời $B\subset A$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$, có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$=100^2+150^2-\mathrm{2.100.150.}{cos110}^{\circ }$

$\approx 42760,6$

$\Rightarrow AC\approx 206,8\left(km\right)$.

Thời gian đi tàu thủy từ $A$ đến $C$ là: $206,8:30\approx 7\left(h\right)$.

Tổng quãng đường đi theo cách 2 là: $100+150=250\left(km\right)$.

Thời gian đi theo cách 2 là: $250:50=5\left(h\right)$.

Vậy đi theo cách 2 thì An sẽ đến $C$ sớm hơn.

Hướng dẫn giải

Gọi $x,y$ lần lượt là số block công ty đó thuê quảng cáo trên đài phát thanh và trên đài truyền hình.

Chi phí công ty cần bỏ ra là $10x+25y$ (triệu đồng). Mức chi này không vượt quá chi phí công ty đặt ra nên $10x+25y\le 500$ hay $2x+5y\le 100$.

Do các điều kiện đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra nên ta có $x\ge 5;y\ge 10$.

Hiệu quả quảng cáo (phần trăm tăng tưởng sản phẩm do quảng cáo) là $F\left(x;y\right)=0,02x+0,04y$.

Bài toán trở thành: Xác định $x,y$ sao cho $F\left(x;y\right)$ đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện $\{\begin{array}{l}2x+5y\le 100\\ x\ge 5\\ y\ge 10\end{array}$ (*).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta được:

Miền nghiệm của hệ (*) là miền tam giác $ABC$ với $A\left(5;18\right),B\left(25;10\right),C\left(5;10\right)$.

Ta có: $F\left(5;18\right)=0,02\cdot 5+0,04\cdot 18=0,82$;

$F\left(25;10\right)=0,02\cdot 25+0,04\cdot 10=0,9$;

$F\left(5;10\right)=0,02\cdot 5+0,04\cdot 10=0,5$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $F\left(x;y\right)$ bằng 0,9 tại $\left(x;y\right)=\left(25;10\right)$.

Vậy để đạt hiệu quả cao nhất thì công ty đó cần quảng cáo 25 block trên đài phát thanh và 10 block trên đài truyền hình.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác $MOP$ có:

$MA=\frac{1}{5}MO\Rightarrow MO=5MA\Rightarrow \overrightarrow{MO}=5\overrightarrow{MA}$

$OB=\frac{3}{4}OP\Rightarrow OP=\frac{4}{3}OB\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$

Mà $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OP}\Rightarrow \overrightarrow{MP}=5\overrightarrow{MA}+\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$.