Đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 9 (có đáp án)

Biểu diễn tập hợp $A=\left(-\infty ;2m\right]$ trên trục số ta có:

Biểu diễn tập hợp \(B = {\rm{[8}}; + \infty )\) trên trục số ta có:

Do đó, để \(A \cap B \ne \emptyset \) thì $2m\ge 8\iff m\ge 4$.

Vậy khi $m\ge 4$ thì $A\cap B\ne \varnothing$.

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số sản phẩm $C$ và $D$ được sản xuất ra.

Do máy $A$ không thể hoạt động quá 180 giờ nên ta có: $3x+2y\le 180$.

Do máy $B$ không thể hoạt động quá 220 giờ nên ta có: $x+6y\le 220$.

Do $x$, $y$ lần lượt là số sản phẩm $C$ và $D$ nên ta có: $x\ge 0;y\ge 0$.

Do đó, ta có hệ bất phương trình sau: $\{\begin{array}{l}3x+2y\le 180\\ x+6y\le 220\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên ta được như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ trên là tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh là: $O\left(0;0\right)$,$A\left(60;0\right)$, $B\left(40;30\right)$, $C\left(0;\frac{110}{3}\right)$.

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là $T=60000x+40000y$ (đồng).

Ta thấy $T$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$. Mà dễ thấy $C$ có tọa độ không nguyên nên loại. Ta tính giá trị biểu thức $T$ tại các điểm $A\left(60;0\right)$, $B\left(40;30\right)$.

Tại $A\left(60;0\right)$ ta có: $T=60000\cdot 60+40000\cdot 0=3600000$ (đồng)

Tại $B\left(40;30\right)$ ta có: $T=60000\cdot 40+40000\cdot 30=3600000$ (đồng)

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 3 triệu 600 nghìn đồng.

Xét tam giác $MNP$ có

$MP=1,5MN=1,5\cdot 6=9\mathrm{cm}$.

Lại có: $MN+MP+NP=23\Rightarrow NP=23-6-9=8\left(\mathrm{cm}\right)$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $MNP$ ta có:

$M{N}^2=M{P}^2+N{P}^2-2MP\cdot NP\cdot \cos \widehat{MPN}$

$\iff 6^2=9^2+8^2-2\cdot 9\cdot 8\cdot \cos \widehat{MPN}$

$\iff 36=145-144\cos \widehat{MPN}$

$\Rightarrow \cos \widehat{MPN}=\frac{145-36}{144}=\frac{109}{144}\Rightarrow \widehat{MPN}\approx 41^{\circ }$.

$M{P}^2=M{N}^2+N{P}^2-2MN\cdot NP\cdot \cos \widehat{MNP}$

$\iff 9^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos \widehat{MNP}$

$\iff 81=100-96\cdot \cos \widehat{MNP}$

$\Rightarrow \cos \widehat{MNP}=\frac{100-81}{96}=\frac{19}{96}\Rightarrow \widehat{MNP}\approx 79^{\circ }$.

Mặt khác, ta lại có:

$\widehat{MPN}+\widehat{MNP}+\widehat{NMP}=180^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{NMP}=180^{\circ }-\left(\widehat{MPN}+\widehat{MNP}\right)=180^{\circ }-\left(41^{\circ }+79^{\circ }\right)=60^{\circ }$.

Vậy tam giác $MNP$ có $MN=6\mathrm{cm}$, $MP=9\mathrm{cm}$, $NP=8\mathrm{cm}$,$\widehat{MPN}\approx 41^{\circ }$,$\widehat{MNP}\approx 79^{\circ }$, $\widehat{NMP}\approx 60^{\circ }$.

Do đoạn thẳng $AD$ có trung điểm $E$ nên ta có: $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}$.

Do $M$ nằm trên cạnh $AB$ nên ta có: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AM}\left(k>1\right)\Rightarrow \frac{AB}{AM}=k$.

Do $N$ nằm trên cạnh $AC$ nên ta có: $\overrightarrow{AC}=l\overrightarrow{AN}\left(l>1\right)\Rightarrow \frac{AC}{AN}=l$.

Ta có:

$\overrightarrow{DB}=-2\overrightarrow{DC}\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow k\overrightarrow{AM}+2l\overrightarrow{AN}=6\overrightarrow{AE}\Rightarrow k\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}\right)+2l\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EN}\right)=6\overrightarrow{AE}$

$\Rightarrow \left(k+2l-6\right)\overrightarrow{AE}=-k\overrightarrow{EM}-2l\overrightarrow{EN}$

Do hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MN}$ không cùng phương nên suy ra: $k+2l-6=0\iff k+2l=6\iff 2\frac{AC}{AN}+\frac{AB}{AM}=6$.

Vậy $2\frac{AC}{AN}+\frac{AB}{AM}=6$.