Đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều – Đề 4 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có tập hợp $$A=\left[-3;6\right]$$ và $\mathbb{Z}=\left\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\right\}$

Do đó $$A\cap \mathbb{Z}=\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6\right\}$$.

b) $$A\cap B=\varnothing \iff [\begin{array}{l}2m+3\le -3\\ 2m-4>6\end{array}$$$$\iff [\begin{array}{l}m\le -3\\ m>5\end{array}$$

Vậy với $m\le -3$ hoặc $m>5$ thì $$A\cap B=\varnothing$$.

Gọi $x,y$ lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. $\left(x,y\ge 0\right)$

Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên $x\le 45,y\le 80$.

Sản xuất $x$ chiếc radio kiểu một và $y$ chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là $12x+9y$.

Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên $12x+9y\le 900$ hay tương đương với $4x+3y\le 300$.

Tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc radio kiểu một và $y$ chiếc radio kiểu hai là $T=250000x+180000y$ (đồng).

Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm $\left(x;y\right)$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}0\le x\le 45\\ 0\le y\le 80\\ 4x+3y\le 300\end{array}$để $T=250000x+180000y$ lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}0\le x\le 45\\ 0\le y\le 80\\ 4x+3y\le 300\end{array}$ lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}0\le x\le 45\\ 0\le y\le 80\\ 4x+3y\le 300\end{array}$ là miền ngũ giác $OABCD$ (kể cả biên) với $O\left(0;0\right),A\left(0;80\right),B\left(15;80\right),C\left(45;40\right),D\left(45;0\right)$.

Người ta chứng minh được $T=250000x+180000y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$.

Ta có: $T\left(0;0\right)=0$;

$T\left(0;80\right)=250000\cdot 0+180000\cdot 80=14400000$;

$T\left(15;80\right)=250000\cdot 15+180000\cdot 80=18150000$;

$T\left(45;40\right)=250000\cdot 45+180000\cdot 40=18450000$;

$T\left(45;0\right)=250000\cdot 45+180000\cdot 0=11250000$.

Do đó, $T=250000x+180000y$ đạt giá trị lớn nhất tại $\left(x;y\right)=\left(45;40\right)$.

Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $$ABC$$, ta có:

$$\hat{A}=180^{\circ }-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180^{\circ }-\left(105^{\circ }+30^{\circ }\right)=45^{\circ }$$.

Áp dụng định lý sin, ta có: $$\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 105^{\circ }}\iff \frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{22}{\sin 105^{\circ }}\Rightarrow AB\approx 11,4$$

Vậy khoảng cách từ $$A$$ đến $$B$$ là $$11,4$$m.

b) Diện tích của khu vườn: $$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}$$.

Xét tam giác $$ABC$$ có: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \hat{A}\approx \frac{1}{2}.11,\mathrm{4.22.}\sin 45^{\circ }\approx 88,67$$

Xét tam giác $$ADC$$có: $$p=\frac{AD+CD+AC}{2}=\frac{20+22+6}{2}=24$$

$$\begin{array}{l}{S}_{ADC}=\sqrt{p\left(p-AD\right)\left(p-CD\right)\left(p-AC\right)}\\ \Rightarrow S_{ADC}=\sqrt{24.\left(24-20\right)\left(24-22\right)\left(24-6\right)}\approx 58,79\end{array}$$

$$\Rightarrow S_{ABCD}\approx 88,67+58,79\approx 147,5$$.

Vậy diện tích khu vườn đó là $147,5m^2$.