Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 1 (có đáp án)

a) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=3,5.4,2.\cos 85^{\circ }\approx 1,3$.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.2\overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\approx 3,5^2+2.1,3\approx 13,5$.

b)

Dựng hình bình hành \(AGCE\). Khi đó, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{ME}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{ME}\right|=ME$

Kẻ $$EF\perp BC\left(F\in BC\right)$$

$\Rightarrow ME\ge EF$

Do đó $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $$EF$$ khi $M$ trùng $F$.

Gọi $P$ là trung điểm của $AC$, kẻ $$PQ\perp BC\left(Q\in BC\right)$$

$\Rightarrow P$ là trung điểm của $GE$ (tính chất hình bình hành)

Ta lại có: $BG=\frac{2}{3}BP$

$\Rightarrow BP=\frac{3}{4}BE$

Vì $$PQ\parallel EF\left(\perp BC\right)$$ nên $BQ=\frac{3}{4}BF$ hay $BF=\frac{4}{3}BQ$

$\Rightarrow \overrightarrow{BF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BQ}$

Xét tam giác $AHC$, có:

$P$ là trung điểm của $AC$

$$PQ\parallel AH\left(\perp BC\right)$$

Suy ra $Q$ là trung điểm của $HC$ nên $\overrightarrow{HQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HC}$

Ta lại có: $\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{HC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{HC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{HC}=\frac{5}{6}\overrightarrow{HC}$

$\iff \overrightarrow{BQ}=\frac{5}{6}\overrightarrow{HC}$

Mà $\overrightarrow{HC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BQ}=\frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{5}{8}\overrightarrow{BC}.$

Do đó $\overrightarrow{BF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BQ}=\frac{4}{3}.\frac{5}{8}\overrightarrow{BC}=\frac{5}{6}\overrightarrow{BC}$.

Vậy điểm $M$ nằm trên $BC$ thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=\frac{5}{6}\overrightarrow{BC}$ hay $x=\frac{5}{6}$ thì độ dài của vectơ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GC}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:

$\overline{x_1}=\frac{2,1+2,5+2,4+2,2+2,3}{5}=2,3$

Kết quả trung bình của bạn Duy là:

$\overline{x_2}=\frac{2,0+2,8+2,6+2,2+1,9}{5}=2,3$.

Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.

b) Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:

$S_{x_1}^2=\frac{{\left(2,1-2,3\right)}^2+{\left(2,5-2,3\right)}^2+{\left(2,4-2,3\right)}^2+{\left(2,2-2,3\right)}^2+{\left(2,3-2,3\right)}^2}{5}=0,02$.

Suy ra độ lệch chuẩn

$s_{x_1}=\sqrt{S_{x_1}^2}=\sqrt{0,02}\approx 0,14$.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:

$S_{x_1}^2=\frac{{\left(2,0-2,3\right)}^2+{\left(2,8-2,3\right)}^2+{\left(2,6-2,3\right)}^2+{\left(2,2-2,3\right)}^2+{\left(1,9-2,3\right)}^2}{5}=0,12$

Suy ra độ lệch chuẩn

$s_{x_2}=\sqrt{S_{x_2}^2}=\sqrt{0,12}\approx 0,35$.

Vì $0,35>0,14$ nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.