Đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 6 (có đáp án)

Để $A\cap B\ne \varnothing$ thì điều kiện là $\{\begin{array}{l}m-1<\frac{m+3}{2}\\ [\begin{array}{l}m-1<-3\\ \frac{m+3}{2}\ge 3\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<5\\ [\begin{array}{l}m<-2\\ m\ge 3\end{array}\end{array}$$\iff m\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left[3;5\right)$.

Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{3;4\right\}$.

Gọi $x,y$ lần lượt là số block công ty đó thuê quảng cáo trên đài phát thanh và trên đài truyền hình.

Chi phí công ty cần bỏ ra là $10x+25y$ (triệu đồng). Mức chi này không vượt quá chi phí công ty đặt ra nên $10x+25y\le 500$ hay $2x+5y\le 100$.

Do các điều kiện đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra nên ta có $x\ge 5;y\ge 10$.

Hiệu quả quảng cáo (phần trăm tăng tưởng sản phẩm do quảng cáo) là $F\left(x;y\right)=0,02x+0,04y$.

Bài toán trở thành: Xác định $x,y$ sao cho $F\left(x;y\right)$ đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện $\{\begin{array}{l}2x+5y\le 100\\ x\ge 5\\ y\ge 10\end{array}$ (*).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta được:

Miền nghiệm của hệ (*) là miền tam giác $ABC$ với $A\left(5;18\right),B\left(25;10\right),C\left(5;10\right)$.

Ta có: $F\left(5;18\right)=0,02\cdot 5+0,04\cdot 18=0,82$;

$F\left(25;10\right)=0,02\cdot 25+0,04\cdot 10=0,9$;

$F\left(5;10\right)=0,02\cdot 5+0,04\cdot 10=0,5$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $F\left(x;y\right)$ bằng 0,9 tại $\left(x;y\right)=\left(25;10\right)$.

Vậy để đạt hiệu quả cao nhất thì công ty đó cần quảng cáo 25 block trên đài phát thanh và 10 block trên đài truyền hình.

Ta có: $A_1{D}_1=AD=10\mathrm{m}$, $\widehat{D_{1}C{A}_1}=\widehat{C{A}_1{B}_1}-\widehat{C{D}_1{A}_1}=40^{\circ }-35^{\circ }=5^{\circ }$.

Áp dụng định lí sin cho $\Delta C{D}_1{A}_1$, ta có: $\frac{A_{1}C}{\sin \widehat{C{D}_1{A}_1}}=\frac{A_1{D}_1}{\sin \widehat{D_{1}C{A}_1}}$.

Suy ra $A_{1}C=\frac{A_1{D}_1\sin \widehat{C{D}_1{A}_1}}{\sin \widehat{D_{1}C{A}_1}}=\frac{10\cdot \sin 35^{\circ }}{\sin 5^{\circ }}\approx 65,81$.

Xét tam giác $A_1{B}_{1}C$ vuông tại $B_1$, ta có 

Ta có: $B{B}_1=A{A}_1=D{D}_1=1,2$ m.

Do đó, $BC=B{B}_1+B_{1}C\approx 1,2+42,30\approx 43,50$ (m)

Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 43,50 mét.

Do $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên ta có:

$$\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CH}\right)\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\right)$$ $$=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{CA}\right)$$

Vì $H$ là trực tâm của $$\Delta ABC,$$ nên $$BH\perp CA,CH\perp BA$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}=0,\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BA}=0$$.

Do đó, $$\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{CA}\right)$$

$$=\frac{1}{4}\left[\overrightarrow{BH}\cdot \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)+\overrightarrow{CH}\cdot \left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)\right]=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BC}\right)$$

$=\frac{1}{4}\cdot \overrightarrow{BC}\cdot \left(\overrightarrow{BH}-\overrightarrow{CH}\right)=\frac{1}{4}\cdot \overrightarrow{BC}\cdot \left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HC}\right)=\frac{1}{4}\cdot \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{BC}}^2=\frac{1}{4}B{C}^2$.

Vậy $$\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{C}^2$$.