Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Lương Thế Vinh (TP.HCM) có đáp án

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Tọa độ đỉnh: $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1;y_S={\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-3=-4\Rightarrow S\left(-1;-4\right)$.

Trục đối xứng: Đường thẳng $x=-1$.

Bề lõm: Hệ số $a=1>0$ nên bề lõm quay lên trên.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Parabol cắt trục tung tại $\left(0;-3\right)$.

Parabol cắt trục hoành tại hai điểm $\left(-3;0\right)$ và $\left(1;0\right)$.

Đồ thị nhận đường thẳng $x=-1$ làm trục đối xứng và đi qua các điểm $\left(-2;-3\right),\left(-1;-4\right)$.

y=x2+2x−3. (ảnh 1)">

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:

Gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ nằm trên mặt đất tại vị trí chính giữa của cổng.

Trục tung $Oy$ đi qua đỉnh $G$ của cổng Parabol $\Rightarrow G\left(0;3\right)$.

Trục hoành $Ox$ trùng với mặt đất $AB$.

Oxy sao cho: (ảnh 2)">

Phương trình cổng Parabol $\left(P\right)$ có dạng: $y=a{x}^2+bx+c\left(a<0\right)$.

Do Parabol nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng nên $x_S=-\frac{b}{2a}=0\Rightarrow b=0$.

Đỉnh $G\left(0;3\right)\in \left(P\right)\Rightarrow c=3$.

Do đó phương trình Parabol có dạng: $y=a{x}^2+3$.

Vì mép cửa hình chữ nhật rộng $3\mathrm{m}$, cao $2\mathrm{m}$ và nằm cân đối hai bên trục $Oy$, nên mép trên góc phải của cửa có tọa độ là: $E\left(\frac{3}{2};2\right)$.

Do điểm $E\left(\frac{3}{2};2\right)\in \left(P\right)$ nên ta có: $2=a{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+3\Rightarrow a=-\frac{4}{9}$.

Vậy phương trình của Parabol là: $\left(P\right):y=-\frac{4}{9}{x}^2+3$.

Tọa độ hai chân cổng $A$ và $B$ là giao điểm của $\left(P\right)$ với trục hoành $Ox$ ($y=0$):

$-\frac{4}{9}{x}^2+3=0\iff \frac{4}{9}{x}^2=3\iff x^2=\frac{27}{4}\iff x=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Do đó hoành độ của $A$ và $B$ lần lượt là $x_A=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ và $x_B=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là độ dài đoạn $AB$:

$AB=x_B-x_A=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)=3\sqrt{3}\approx 5,196\mathrm{m}$.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được khoảng cách giữa hai chân cổng là $5,2\mathrm{m}$.

a) Áp dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ: $\vec{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.

Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là: $\left|\vec{a}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=2a$.

b) Từ giả thiết $\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{BH}\Rightarrow \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$$\iff \overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$\iff \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$$\iff \overrightarrow{AH}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\left(1\right)$.

Vì $K$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Từ giả thiết $\overrightarrow{BK}=3\overrightarrow{BI}\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BK}$$\iff \overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}\right)$

$\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AK}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$\iff \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)$$\iff \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\left(2\right)$.

Từ $\left(2\right)$, ta đặt hệ số $\frac{5}{6}$ ra ngoài: $\overrightarrow{AI}=\frac{5}{6}\left(\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\right)$.

Thay $\left(1\right)$ vào biểu thức trên, ta suy ra: $\overrightarrow{AI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$.

Vì $\overrightarrow{AI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AH}$ cùng phương, lại có chung điểm gốc $A$.

Vậy ba điểm $A,I,H$ thẳng hàng (đpcm).