Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

Vì $\left(P\right)$ đi qua $A\left(0;3\right)$ nên thay $x=0,y=3$ vào công thức hàm số, ta được: $c=3$.

Vì $\left(P\right)$ có đỉnh $S\left(2;-1\right)$ nên hoành độ và tung độ của đỉnh $S$ thỏa mãn: $\{\begin{array}{c}-\frac{b}{2a}=2\\ 4a+2b+c=-1\end{array}$.

Thay $c=3$ vào hệ phương trình trên, ta có hệ: $\{\begin{array}{c}b=-4a\\ 4a+2b=-4\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy công thức hàm số bậc hai cần tìm là: $y=x^2-4x+3$.

Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành) và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ (quy tắc hiệu).

Tính tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)={\overrightarrow{AD}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2$$=A{D}^2-A{B}^2=3^2-4^2=-7$.

Vậy $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=-7$.

a) Tiền điện phụ thuộc theo các bậc tiêu thụ và cộng thêm phí bảo trì:

Bậc 1: Khi $0\le x\le 50$, tiền điện tính theo đơn giá $1800$ đồng/kWh nên $C\left(x\right)=1800x+10000$.

Bậc 2: Khi $50<x\le 100$, tiền điện gồm $50\mathrm{kWh}$bậc 1 ($50\times 1800=90000$ đồng), số điện còn lại $\left(x-50\right)$ tính giá $2300$ đồng/kWh và phí bảo trì nên $C\left(x\right)=10000+50\times 1800+2300\left(x-50\right)=2300x-15000$.

Đặt $BC=a,AC=b,AB=c$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R\sin A=2\cdot 7\cdot \sin 75^{\circ }=14\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{7\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{2}(\mathrm{m})$.

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$, ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A={\left(b-c\right)}^2+2bc\left(1-\cos A\right)$.

Vì ${\left(b-c\right)}^2\ge 0$ với mọi $b,c$ nên $a^2\ge 2bc\left(1-\cos A\right)\Rightarrow bc\le \frac{a^2}{2\left(1-\cos A\right)}$.

Công thức diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}bc\sin A\le \frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{2\left(1-\cos A\right)}\cdot \sin A=\frac{a^2\sin A}{4\left(1-\cos A\right)}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $b=c$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$).

Thay số với $a=\frac{7\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{2}\Rightarrow a^2=49\left(2+\sqrt{3}\right)$ thì $S_{\max }=\frac{49\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot \sin 75^{\circ }}{4\left(1-\cos 75^{\circ }\right)}\approx 59,531{\mathrm{m}}^2$.

Giá tiền $1{\mathrm{m}}^2$ bạt là $450000$ đồng, tức là $0,45$ triệu đồng.

Chi phí tối đa làm mái che là: $T_{\max }=S_{\max }\times 0,45\approx 59,531\times 0,45\approx 26,8$ (triệu đồng).