Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (Hoàn Kiếm-Hà Nội) có đáp án

Hàm số $y=\frac{3x+4}{\sqrt{x-1}}$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong căn dưới mẫu thức dương:

$x-1>0\mathrm{hay}x>1$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(1;+\infty \right)$.

Ta có: $-36x^2+12x-1=-\left(36x^2-12x+1\right)=-{\left(6x-1\right)}^2$.

Vì ${\left(6x-1\right)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $-{\left(6x-1\right)}^2\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Do đó bất phương trình chỉ thỏa mãn khi dấu bằng xảy ra: $-{\left(6x-1\right)}^2=0\Rightarrow x=\frac{1}{6}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left\{\frac{1}{6}\right\}$.

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng vectơ

Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$.

Để $AC\perp DM$, điều kiện cần và đủ là:

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0$

$\iff \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(k\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)=0$

$\iff k{\overrightarrow{AB}}^2-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{AD}}^2=0$

$\iff k\cdot A{B}^2-A{D}^2=0$

$\iff k\cdot 3^2-4^2=0\iff 9k-16=0\iff k=\frac{16}{9}$.

Cách 2: Sử dụng hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $A\left(0;0\right)$, tia $Ax$ chứa $B$, tia $Ay$ chứa $D$.

Tọa độ các đỉnh là $A\left(0;0\right)$, $B\left(3;0\right)$, $D\left(0;4\right)$, $C\left(3;4\right)$.

Do $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}=\left(3k;0\right)\Rightarrow M\left(3k;0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(3;4\right)$ và $\overrightarrow{DM}=\left(3k;-4\right)$.

$AC\perp DM\iff \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0\iff 3\cdot \left(3k\right)+4\cdot \left(-4\right)=0\iff 9k-16=0\iff k=\frac{16}{9}$.

Vậy $k=\frac{16}{9}$.

Điều kiện: $3x+2\ge 0$, tức là $x\ge -\frac{2}{3}$.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được $3x^2-4x+4={\left(3x+2\right)}^2$.

Biến đổi và rút gọn phương trình trên ta được $6x^2+16x=0$.

Giải phương trình ta được $x=0$ hoặc $x=-\frac{8}{3}$.

Thử điều kiện $x\ge -\frac{2}{3}$:

$x=0$ thỏa mãn điều kiện.

$x=-\frac{8}{3}<-\frac{2}{3}$ (loại).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

Do vật đứng yên tại $M$, tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng vectơ $\vec{0}$:

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{F_3}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)$.

Cường độ lực $\overrightarrow{F_3}$ là: $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|$.

Ta có: ${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|}^2={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}$$={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{F_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{F_2}\right|\cdot \cos \left(\angle AMB\right)$.

Thay $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=100\mathrm{N}$, $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=100\mathrm{N}$ và $\angle AMB=60^{\circ }$:

${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|}^2=100^2+100^2+2\cdot 100\cdot 100\cdot \cos 60^{\circ }$$=10000+10000+20000\cdot \frac{1}{2}=30000$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_3}\right|=\sqrt{30000}=100\sqrt{3}\mathrm{N}$.

Vậy cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ là $100\sqrt{3}\mathrm{N}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với:

Trục $Ox$ trùng với mặt đất.

Gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ là trung điểm của khoảng cách giữa hai chân cổng.

Trục đối xứng $Oy$ đi qua đỉnh của cổng parabol.

Khi đó:

Khoảng cách giữa hai chân cổng là \(8{\rm{\;m}}\) nên tọa độ hai chân cổng là $A\left(-4;0\right)$ và $B\left(4;0\right)$.

Phương trình parabol $\left(P\right)$ có dạng: $y=a{x}^2+c$ (với $a<0$, $c$ là chiều cao đỉnh cổng).

Vì $\left(P\right)$ đi qua chân cổng $B\left(4;0\right)$ nên $a\cdot 4^2+c=0\Rightarrow 16a+c=0\Rightarrow c=-16a$.

Một điểm $C$ trên mặt đất cách chân cổng $A\left(-4;0\right)$ một khoảng $0,5\mathrm{m}$ có hoành độ là:

$x_C=-\left(4-0,5\right)=-3,5$.

Do đó điểm $D\left(-3,5;2,93\right)\in \left(P\right)$ nên $a\cdot {\left(-3,5\right)}^2+c=2,93\Rightarrow 12,25a+c=2,93$.

Thay $c=-16a$ vào phương trình trên:

$12,25a-16a=2,93\Rightarrow -3,75a=2,93\Rightarrow a=-\frac{2,93}{3,75}=-\frac{293}{375}$.

Từ đó tính chiều cao $c$ của cổng: $c=-16\cdot \left(-\frac{293}{375}\right)=\frac{4688}{375}\approx 12,5013\mathrm{m}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, chiều cao của cổng parabol xấp xỉ $12,5\mathrm{m}$.