Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

a) Vì $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ và $2MB=3MC\Rightarrow \frac{MB}{MC}=\frac{3}{2}$, do đó: $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$$=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\left(1-\frac{3}{5}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$.

b) Từ giả thiết $2MB=3MC$ và $M\in BC$, ta có điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức vectơ:

$2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.

Ta có $5\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=5\overrightarrow{KA}+2\left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}\right)+3\left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MC}\right)$

$=5\overrightarrow{KA}+5\overrightarrow{KM}+\left(2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right)=5\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KM}\right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$, suy ra $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KM}=2\overrightarrow{KI}$.

Khi đó: $P=\left|5\cdot 2\overrightarrow{KI}\right|=10KI$.

Để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng $KI$ phải ngắn nhất.

Vì $K$ di động trên đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$, $KI$ ngắn nhất khi và chỉ khi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $d$.

Do $d//BC$ và $AM$ cắt $BC$ tại $M$, hình chiếu $K$ chính là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến $d$.

a) Vì $G\left(3;2\right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$, tọa độ của $G$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}$.

Thay tọa độ các điểm $A\left(-1;-1\right)$, $B\left(3;5\right)$, $G\left(3;2\right)$ vào hệ trên, ta suy ra:

$\{\begin{array}{c}{x}_C=3\cdot 3-\left(-1\right)-3=9+1-3=7\\ y_C=3\cdot 2-\left(-1\right)-5=6+1-5=2\end{array}$.

Vậy $C\left(7;2\right)$.

b) Vì $M\in Ox$ nên tọa độ điểm $M$ có dạng $M\left(x;0\right)$.

Tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$: $\overrightarrow{MA}=\left(-1-x;-1\right)$; $\overrightarrow{MB}=\left(3-x;5\right)$.

Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MB}\iff \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$:

$\left(-1-x\right)\cdot \left(3-x\right)+\left(-1\right)\cdot \left(5\right)=0$$\iff x^2-2x-3-5=0\iff x^2-2x-8=0$.

Giải phương trình bậc hai trên ta được $x=4$ hoặc $x=-2$.

Vậy có 2 điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $M_1\left(4;0\right)$ và $M_2\left(-2;0\right)$.

Mẫu số liệu số lượng gạo tiêu thụ theo từng tháng (đơn vị: tấn) gồm $n=12$ số liệu:

$x=\left\{2000;3000;5000;4000;4000;4000;3000;2000;5000;4000;2000;3000\right\}$

a) Số lượng tiêu thụ trung bình mỗi tháng:

$\bar{x}=\frac{2000+3000+5000+4000+4000+4000+3000+2000+5000+4000+2000+3000}{12}$

$=\frac{41000}{12}\approx 3416,67$ (tấn).

b) Phương sai của mẫu số liệu:

$$\begin{array}{l}{s}^2=\frac{1}{12}[{2000}^2+{3000}^2+{5000}^2+{4000}^2+{4000}^2+{4000}^2+{3000}^2+{2000}^2\\ +{5000}^2+{4000}^2+{2000}^2+{3000}^2]-{\left(\frac{41000}{12}\right)}^2\approx 1076388,89.\end{array}$$