Đề thi giữa kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

Gọi $U$ là tập hợp toàn bộ khán giả tại trường quay $\Rightarrow n\left(U\right)=100$.

Gọi $A$ là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh A $\Rightarrow n\left(A\right)=85$.

Gọi $B$ là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh B $\Rightarrow n\left(B\right)=72$.

Tập hợp các khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh chính là giao của hai tập hợp $A\cap B\Rightarrow n\left(A\cap B\right)=65$.

Số khán giả đã tham gia bình chọn (bình chọn cho ít nhất một trong hai thí sinh) ứng với số phần tử của tập hợp hợp $A\cup B$. Theo công thức số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn, ta có:

$n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)$

$n\left(A\cup B\right)=85+72-65=92$

Vậy số khán giả đã tham gia bình chọn là 92 khán giả.

Số khán giả không tham gia bình chọn bất kỳ ai là:

$n\left(U\right)-n\left(A\cup B\right)=100-92=8$

Vậy số khán giả không tham gia bình chọn là 8 khán giả.

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:2x+y=1$.

Cho $x=0\Rightarrow y=1$, ta được điểm $M\left(0;1\right)$.

Cho $y=0\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$, ta được điểm $N\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua hai điểm $M$ và $N$.

Bước 2: Chọn điểm thử kiểm tra.

Ta lấy điểm gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ không thuộc đường thẳng $d$.

Thay tọa độ điểm $O\left(0;0\right)$ vào vế trái của bất phương trình ta có:

$2\cdot 0+0=0$

So sánh với vế phải: $0<1$ (khẳng định đúng).

Bước 3: Kết luận miền nghiệm.

Miền nghiệm của bất phương trình $2x+y<1$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ (không kể đường thẳng $d$) và chứa gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ (phần không gạch chéo trong hình).

Theo dữ liệu bài toán và mô phỏng trên hình vẽ, ta xét các tam giác phẳng $ABP$ và $ABQ$ trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng chứa các điểm đỉnh núi:

Xét tam giác $ABP$:

Ta có cạnh $AB=1\mathrm{km}$.

Góc tại $A$: $\widehat{PAB}=60^{\circ }$.

Góc tại $B$: $\widehat{PBA}=40^{\circ }$.

Góc tại đỉnh $P$:

$\widehat{APB}=180^{\circ }-\left(\widehat{PAB}+\widehat{PBA}\right)=180^{\circ }-\left({60}^{\circ }+{40}^{\circ }\right)=80^{\circ }$

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABP$ để tính cạnh $AP$:

$\frac{AB}{\sin \widehat{APB}}=\frac{AP}{\sin \widehat{PBA}}\Rightarrow AP=\frac{1\cdot \sin {40}^{\circ }}{\sin {80}^{\circ }}\approx \frac{0,6428}{0,9848}\approx 0,6527\mathrm{km}$

Xét tam giác $ABQ$:

Ta có cạnh $AB=1\mathrm{km}$.

Góc tại $A$: $\widehat{QAB}=35^{\circ }$.

Góc tại $B$: $\widehat{QBA}=25^{\circ }$.

Góc tại đỉnh $Q$:

$\widehat{AQB}=180^{\circ }-\left(\widehat{QAB}+\widehat{QBA}\right)=180^{\circ }-\left({35}^{\circ }+{25}^{\circ }\right)=120^{\circ }$

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABQ$ để tính cạnh $AQ$:

$\frac{AB}{\sin \widehat{AQB}}=\frac{AQ}{\sin \widehat{QBA}}\Rightarrow AQ=\frac{1\cdot \sin {25}^{\circ }}{\sin {120}^{\circ }}=\frac{\sin {25}^{\circ }}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx \frac{0,4226}{0,8660}\approx 0,4880\mathrm{km}$

Xét tam giác $APQ$:

Ta biết góc kẹp giữa hai tia ngắm từ $A$ đến hai đỉnh núi $P$ và $Q$ là:

$\widehat{PAQ}=\widehat{PAB}-\widehat{QAB}=60^{\circ }-35^{\circ }=25^{\circ }$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $APQ$ để tìm độ dài khoảng cách $PQ$:

$P{Q}^2=A{P}^2+A{Q}^2-2\cdot AP\cdot AQ\cdot \cos \widehat{PAQ}$

Thay số cụ thể vào phương trình:

$P{Q}^2\approx {\left(0,6527\right)}^2+{\left(0,4880\right)}^2-2\cdot \left(0,6527\right)\cdot \left(0,4880\right)\cdot \cos 25^{\circ }$

$P{Q}^2\approx 0,4260+0,2381-2\cdot 0,3185\cdot 0,9063$

$P{Q}^2\approx 0,6641-0,5773=0,0868$

$\Rightarrow PQ=\sqrt{0,0868}\approx 0,2946\mathrm{km}$

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, khoảng cách giữa hai đỉnh núi $P$ và $Q$ là $0,29\mathrm{km}$.