Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều – Đề 7 (có đáp án)

Ta có $3x^2-2\left(m+5\right)x-m^2+2m+8=0\iff x=m+2$ hoặc $x=\frac{4-m}{3}$.

* Với  $m+2>\frac{4-m}{3}\iff 3m+6>4-m\iff m>-\frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\iff \frac{4-m}{3}\le x\le m+2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[\frac{4-m}{3};m+2\right]$

Suy ra mọi $$x\in \left[-1;1\right]$$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $$\left[-1;1\right]\subset \left[\frac{4-m}{3};m+2\right]\iff \{\begin{array}{c}-1\ge \frac{4-m}{3}\\ 1\le m+2\end{array}$$$\iff \{\begin{array}{c}m\ge 7\\ m\ge -1\end{array}\iff m\ge 7$.

Kết hợp với điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ ta có $m\ge 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với $m+2<\frac{4-m}{3}\iff m<-\frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\iff m+2\le x\le \frac{4-m}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[m+2;\frac{4-m}{3}\right]$

Suy ra mọi $$x\in \left[-1;1\right]$$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $$\left[-1;1\right]\subset \left[m+2;\frac{4-m}{3}\right]\iff \{\begin{array}{c}-1\ge m+2\\ 1\le \frac{4-m}{3}\end{array}$$$\iff \{\begin{array}{c}m\le -3\\ m\le 1\end{array}\iff m\le -3$.

Kết hợp với điều kiện $m<-\frac{1}{2}$ ta có $m\le -3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với $m=-\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình (1)$\iff x=\frac{3}{2}$ nên $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $m\in (-\infty ;-3]\cup [7;+\infty )$ là giá trị cần tìm.

Gọi $A,B,C$ lần lượt là vị trí trạm quan sát tại Hà Nội, tại Điện Biên và vị trí vệ tinh khi nằm giữa hai trạm trên. Khi đó ta có $\hat{A}=40^{\circ },\hat{B}=85^{\circ },AB=487$ km.

Khoảng cách giữa vệ tinh và trạm quan sát Điện Biên lúc này chính là độ dài $BC$.

Tam giác $ABC$ có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$, suy ra $\hat{C}=180^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=180^{\circ }-\left(40^{\circ }+85^{\circ }\right)=55^{\circ }$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\Rightarrow BC=\frac{AB\sin A}{\sin C}=\frac{487\cdot \sin 40^{\circ }}{\sin 55^{\circ }}\approx 382,15$ (km).

Vậy vệ tinh cách trạm quan sát Điện Biên khoảng 382,15 km.

Theo giả thiết: $$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}\left(1\right)$$

Ta có: $$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$$.

Khi đó, $$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\left(2\right)$$

Ta có: $$\frac{BF}{FC}=\frac{4}{1}\Rightarrow \overrightarrow{BF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$$

Khi đó, $$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\left(3\right)$$

Mà $A,K,E$ thẳng hàng nên $$\overrightarrow{AK}=m\overrightarrow{AE}\left(4\right)$$

$D,K,F$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{DK}=n\overrightarrow{DF}$ $\iff \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}=n\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}\right)$

$$\iff \overrightarrow{AK}=n\overrightarrow{AF}+\left(1-n\right)\overrightarrow{AD}\left(5\right)$$

Từ $$\left(2\right)$$ và $$\left(4\right)$$ suy ra: $$\overrightarrow{AK}=\frac{3}{4}m\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}m\overrightarrow{AC}\left(6\right)$$

Từ $$\left(1\right)$$, $$\left(3\right)$$ và $$\left(5\right)$$ suy ra: $$\overrightarrow{AK}=n\left[\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\right]+\left(1-n\right)\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left(\frac{3}{5}-\frac{2n}{5}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{4n}{5}\overrightarrow{AC}\left(7\right)$$

Do hai vectơ $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AC}$$ không cùng phương nên từ $$\left(6\right)$$,$$\left(7\right)$$ ta có: $$\{\begin{array}{l}\frac{3m}{4}=\frac{3}{5}-\frac{2n}{5}\\ \frac{m}{4}=\frac{4n}{5}\end{array}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{5}-\frac{2n}{15}=\frac{4n}{5}\iff n=\frac{3}{14}$$

Suy ra $$\overrightarrow{DK}=\frac{3}{14}\overrightarrow{DF}\Rightarrow \frac{DK}{DF}=\frac{3}{14}\Rightarrow \frac{KD}{KF}=k=\frac{3}{11}$$.

Vậy $$k=\frac{3}{11}$$.