Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều – Đề 8 (có đáp án)

Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là $x$ (cm) $\left(0<x<15\right)$.

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là $4x$ (cm).

Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là $60-4x$ (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là $r=\frac{60-4x}{2\pi }=\frac{30-2x}{\pi }$ (cm).

Diện tích hình vuông được uốn thành là $S_1=x^2$ (cm²).

Diện tích hình tròn được uốn thành là

$S_2=\pi r^2=\pi .{\left(\frac{30-2x}{\pi }\right)}^2=\frac{{\left(30-2x\right)}^2}{\pi }=\frac{1}{\pi }\left(4x^2-120x+900\right)$ (cm²).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:

$S=S_1+S_2=x^2+\frac{1}{\pi }\left(4x^2-120x+900\right)=\left(1+\frac{4}{\pi }\right)x^2-\frac{120}{\pi }x+\frac{900}{\pi }$ (cm²).

Nhận thấy $S$ là hàm số bậc hai của $x$, do đó $S$ nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số $S=\left(1+\frac{4}{\pi }\right)x^2-\frac{120}{\pi }x+\frac{900}{\pi }$.

Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{-120}{\pi }}{2\left(1+\frac{4}{\pi }\right)}=\frac{60}{4+\pi }$ (cm).

Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng $4x=4.\frac{40}{4+\pi }\approx 33,61$ (cm).

Gọi $A,B,C,M,H$ lần lượt là đỉnh tháp viễn thông, điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m, chân tháp viễn thông, chân sườn dốc, hình chiếu của điểm A lên phương ngang như hình vẽ sau

Khi đó ta có: $AC=48$m, $BC=35$m, $\widehat{CMH}=25^{\circ }$, $\widehat{CHM}=90^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{MCH}=90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{MCH}=65^{\circ }$ (2 góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos \widehat{ACB}$$=48^2+35^2-2\cdot 48\cdot 35\cdot \cos 65^{\circ }\approx 2109$

Suy ra $AB\approx 46$ (m).

Vậy chiều dài của sợi dây cáp đó khoảng 46 m.

a) Ta có: $$AC\perp DB\iff \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$$

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)$$

$$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-A{B}^2+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}$$

Ta lại có: $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$

Và $$A{B}^2=h^2,\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=BC\cdot AD=ab$$ .

Do đó, $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0-h^2+ab-0=ab-h^2$$.

Vậy $$\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}\iff ab-h^2=0$$.

b) Vì \(I\) là trung điểm $CD$ nên $$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$$ và $$\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)$$.

Khi đó ta có: $$\widehat{AIB}=90^{\circ }\iff \overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BI}=0\iff \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)=0$$

$$\iff \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=0$$

Mà $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+{\overrightarrow{BC}}^2=0+B{C}^2=b^2$$; $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=ab-h^2$$;

$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=AD\cdot BC=ab$$; $$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BA}+{\overrightarrow{AD}}^2=0+A{D}^2=a^2$$.

Do đó, ta có: $$\widehat{AIB}=90^{\circ }\iff a^2+b^2-h^2+2ab=0\iff a+b=h.$$