Đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo – Đề 9 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Tốc độ tăng trưởng trung bình là:

$\overline{x}=\frac{5,25+5,42+5,98+6,68+6,21+6,81+7,08+7,02}{8}\approx 6,3$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$S_x=\frac{{\left(5,25-6,3\right)}^2+{\left(5,42-6,3\right)}^2+{\left(5,98-6,3\right)}^2+{\left(6,68-6,3\right)}^2}{8}$

$\frac{{\left(6,21-6,3\right)}^2+{\left(6,81-6,3\right)}^2+{\left(7,08-6,3\right)}^2+{\left(7,02-6,3\right)}^2}{8}\approx 0,44$.

$s_x=\sqrt{S_x}\approx \sqrt{0,44}\approx 0,66$.

Vậy phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $0,44$ và $0,66$.

Hướng dẫn giải

a) Cho tam giác vuông cân $ABC$ có $AB=AC=a$. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$.

Vì $AB\perp AC$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.

Xét tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$ (định lí Pythagoras)

$\hat{B}=\hat{C}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Ta có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=-CA.CB.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=-a.a\sqrt{2}.{cos45}^{\circ }=-a^2$.

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

+) Ta có: $2011\overrightarrow{A^{\prime }B}+2012\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2011\overrightarrow{A^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GB}+2012\overrightarrow{A^{\prime }G}+2012\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4023\overrightarrow{A^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GB}+2012\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ $\left(1\right)$.

+) Ta có: $2011\overrightarrow{B^{\prime }C}+2012\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{0}$

$$\iff 2011\overrightarrow{B^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GC}+2012\overrightarrow{B^{\prime }G}+2012\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}$$

$$\iff 4023\overrightarrow{B^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GC}+2012\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}$$ $\left(2\right)$.

+) Ta có: $2011\overrightarrow{C^{\prime }A}+2012\overrightarrow{C^{\prime }B}=\overrightarrow{0}$

$$\iff 2011\overrightarrow{C^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GA}+2012\overrightarrow{C^{\prime }G}+2012\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$$

$$\iff 4023\overrightarrow{C^{\prime }G}+2011\overrightarrow{GA}+2012\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$$ $\left(3\right)$.

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

$$\iff 4023\left(\overrightarrow{A^{\prime }G}+\overrightarrow{B^{\prime }G}+\overrightarrow{C^{\prime }G}\right)+4023\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$$

$$\iff 4023\left(\overrightarrow{A^{\prime }G}+\overrightarrow{B^{\prime }G}+\overrightarrow{C^{\prime }G}\right)+4023.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$$

$$\iff \overrightarrow{A^{\prime }G}+\overrightarrow{B^{\prime }G}+\overrightarrow{C^{\prime }G}=\overrightarrow{0}$$

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Hướng dẫn giải

Gọi hàm quỹ đạo parabol của quả bóng là $h\left(t\right)=a{t}^2+bt+c\left(a\ne 0\right)$.

Quả bóng được đá lên từ độ cao $1,2m$ nên $t=0$, ta có điểm $\left(0;1,2\right)$, thay $t=0$ và $h=1,2$ vào hàm số trên ta được: $c=1,2$.

$\Rightarrow h\left(t\right)=a{t}^2+bt+1,2$ $\left(1\right)$

Tại $t=1$ thì $h=8,5$ khi đó $\left(1\right)\iff a+b+1,2=8,5\iff a+b=7,3$ $\left(2\right)$.

Tại $t=2$ thì $h=6$ khi đó $\left(1\right)\iff 4a+2b+1,2=6\iff 4a+2b=4,8\iff 2a+b=2,4$ $\left(3\right)$.

Từ $\left(2\right)$ và $\left(3\right)$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}a+b=7,3\\ 2a+b=2,4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-4,9\\ b=12,2\end{array}$(thỏa mãn điều kiện).

Do đó hàm số cần tìm là $h\left(t\right)=-4,9t^2+12,2t+1,2$.

Quả bóng chạm đất nghĩa là độ cao bằng $0$ khi đó $h=0$, thay vào hàm số trên ta được:

$-4,9t^2+12,2t+1,2=0\iff [\begin{array}{l}t\approx 2,58\\ t\approx -0,09\end{array}$.

Vì $t>0$ nên $t\approx 2,58$ thỏa mãn.

Vậy sau khoảng $2,58$ giây thì quả bóng chạm đất.